Энергетические зоны

Изменение состояния электронов при сближении атомов

Изолированный атом является потенциальной ямой, в которой электрон может занимать одно из ряда дискретных энергетических состояний. Плотность вероятности нахождения электронов на данном расстоянии от ядра в случае изолированных атомов натрия показана на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Распределение плотности вероятности нахождения электронов в изолированных атомах натрия на данном расстоянии от ядра.

Если атомы разнесены на расстояние r>>a (a – период кристаллической решетки), то взаимодействие между ними еще не проявляется. Потенциальный барьер в этом случае препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому.

Если сблизить атомы на расстояние r = a (a ~ 10^-10 м), то за счет возникающего между ними взаимодействия уменьшается высота потенциального барьера (рис. 9.2).

Уменьшение высоты потенциального барьера объясняется притяжением электронов одного атома ядрами соседних. Поскольку в кристалле расположение атомов строго периодично в трех направлениях, то энергетическую схему можно представить в виде периодически расположенных потенциальных ям, разделенных барьерами.

Таким образом, в периодическом поле кристалла на амплитуду волновой функции электрона накладывается дополнительное условие: она не остается постоянной, а периодически изменяется или, иначе говоря, модулирована с периодом, равным периоду решетки a.

Рис. 9.2. Распределение плотности вероятности обнаружения электронов на данном расстоянии от ядер атомов натрия при их сближении.

Уменьшение высоты потенциальных барьеров при сближении атомов (рис. 9.2) приводит к тому, что валентные электроны в металле перестают быть локализованными в конкретном атоме, а переходят от одного атома к другому. Может показаться, что такие переходы приводят к нарушению принципа Паули и в любой момент в атоме может оказаться несколько электронов с одинаковой энергией. Однако при образовании кристалла происходит не только уменьшение высоты потенциального барьера, но и качественное изменение энергетических уровней электронов в атомах. Воспользуемся соотношением неопределенности энергии-времени, где - время нахождения электрона в энергетическом состоянии, характеризующемся интервалом энергии от E до E+DE. Величина DE определяет ширину энергетического уровня, если известно время пребывания на нем электрона. В изолированном атоме время Dt сколь угодно велико, поэтому DE исчезающе мало.

В кристалле скорость движения электронов V ~ 10⁵ м/с, поэтому около данного узла решетки он находится в течение приблизительно 10^-15 с. Приняв это значение времени за D_t, получим ширину энергетического уровня DE ~ 1 эВ. Такой результат свидетельствует о том, что при образовании кристалла энергетический уровень электрона расщепляется в энергетическую зону (рис. 9.3). Эффект расщепления энергетических уровней на зоны для металлического натрия и элементов IV группы таблицы Менделеева (алмаз, кремний и германий) показан на рис. 9.4.

Рис. 9.3 Расщепление энергетических уровней на зоны

Рис. 9.4. Образование энергетических зон: а - в металлическом натрии; б - в элементах IV группы элементов: алмаз, кремний и германий

Следовательно, при образовании кристалла возникает система энергетических зон. Однако энергетическая зона – это не непрерывный ряд значений энергии электронов, а система близких друг к другу дискретных уровней энергии.

Если обобществленные электроны достаточно сильно связаны с атомом, то их потенциальную энергию можно представить как, где − потенциальная энергия электрона в изолированном атоме, а dU – поправочный член, учитывающий влияние соседних атомов.

По мере сближения изолированных атомов и образования из них решетки каждый атом попадает во все возрастающее поле своих соседей. Каждый из уровней атома расщепляется на N подуровней, где N – количество атомов в кристалле. При ширине уровня 1 эВ и количестве атомов в 1 см³, равном 10²³ атомов/см³, расстояния между подуровнями чрезвычайно малы, и такую область можно рассматривать как энергетическую зону с квазинепрерывным спектром энергетических состояний. Следовательно, моноэнергетический уровень расщепляется в энергетическую зону, получившую название зоны разрешенных энергий. Зоны разрешенных энергий отделены друг от друга зонами запрещенных энергий.

Выясним физический смысл существования запрещенных зон. Рассмотрим одномерную решетку (линейную цепочку одинаковых атомов) с периодом а. В этом случае распределение электронов по энергиям можно изобразить в виде приведенной зонной диаграммы (рис. 9.5). Это распределение характеризуется разрывом при значениях волнового числа, что и создает область запрещенных энергий. В одномерном случае формула Вульфа-Брэггов принимает вид:

(9.25)

Первые отражения возникают при условии, что, и первая зона запрещенных энергий (энергетическая щель) оказывается соответствующей именно этим значениям волнового числа. Последующие энергетические щели возникают при следующих положительных и отрицательных значениях k. Отражение при возникает вследствие того, что волны, отраженные от соседних атомов в цепочке, усиливаются в результате интерференции, причем разность фаз при данном значении волнового числа k будет составлять. Область пространства волновых векторов (k -пространство) между значениями и, в этом примере носит название первой зоны Бриллюэна. Внутри зоны Бриллюэна энергия квазинепрерывна, а на границах она имеет разрыв.

Как было показано в параграфе, 9.1 на амплитуду волновой функции свободного электрона, в периодическом поле ионных остовов кристаллической решетки накладывается дополнительное условие: она не остается постоянной, а периодически изменяется или, иначе говоря, модулирована с периодом решетки. Волновая функция электрона в этом случае имеет вид блоховской функции (9.24). Исходя из зонного характера энергии электрона, можно утверждать, что внутри каждой разрешенной энергетической зоны энергия электрона E является периодической функцией волнового вектора (рис. 9.5).

Рис. 9.5 Зависимость энергии электрона от волнового вектора для одномерной моноатомной цепочки.

Конкретный вид зависимости определяется как симметрией кристалла, так и типом атомов, его образующих. Анизотропия кристалла обуславливает зависимость от кристаллографического направления. На рис. 9.6 представлена трехмерная картина изменения энергетических уровней в периодическом поле двумерной гексагональной кристаллической решетки и дисперсия энергии электрона вдоль направления наибольшей симметрии этой решетки. Из рис. 9.6, б видно, что энергетические уровни свободного электрона претерпевают значительные изменения при наложении периодического потенциала. Более подробно анализ этих зависимостей проведен в разделе 9.4.

Рис. 9.6. Зависимости энергии электрона от волнового вектора: а − изменение энергетических уровней свободного электрона, находящегося в поле ненулевого периодического потенциала в случае двумерной гексагональной решетки; б − дисперсия энергии вдоль направлений наибольшей симметрии гексагональной решетки (пунктир показывает уровни свободного электрона).

Дата добавления: 2014-01-20