Выбор методов анализа во временной области

Анализ процессов в проектируемых объектах можно производить во временной и частотной областях. Анализ во временной области (динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании как линейных, так и нелинейных систем. Методы анализа во временной области, используемые в универсальных программах анализа в САПР, — это численные методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ):

Другими словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравнений. Формулы интегрирования СОДУ могут входить в математическую модель (ММ) независимо от компонентных уравнений или быть интегрированными в ММ компонентов, как это выполнено в узловом методе.

От выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характеристики анализа, как точность и вычислительная эффективность. Эти характеристики определяются прежде всего типом и порядком выбранного метода интегрирования СОДУ.

Применяют два типа методов интегрирования — явные методы (иначе экстраполяционные или методы, основанные на формулах интегрирования вперед), и неявные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад). Различия между ними удобно показать на примере простейших методов первого порядка — методов Эйлера.

Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулу замены производных в точке t_n

В формуле неявного метода Эйлера использовано дифференцирование назад:

Доказано, что неявные методы более трудоемкие, но и более универсальные в связи с большей устойчивостью (погрешность интегрирования остается ограниченной при любом шаге).

Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост: во-первых, более высокий порядок обеспечивает более высокую точность, во-вторых, среди неявных разностных методов, кроме метода Эйлера, A-устойчивы также методы второго порядка и среди них — метод трапеций. Поэтому преобладающее распространение в программах анализа получили методы второго порядка — модификации метода трапеций (комбинация явного и неявного методов Эйлера).

Дата добавления: 2014-01-20