Нормальное распределение. • Поток событий – это последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени

Поток событий

• Поток событий – это последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

• Предположим, что поток обладает следующими свойствами: стационарность, ординарность и отсутствие последействия. Поток событий, обладающий этими тремя свойствами (стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия), называется простейшим (или стационарным) пуассоновским потоком.

Свойства:

1.Стационарность. Это свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длины не зависит от того, где на оси 0 t расположен этот участок, а зависит только от его длины. Из этого следует, что среднее число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно. Обозначим его, и будем называть интенсивностью потока.

2. Ординарность. Это свойство заключается в том, что вероятность попадания на малый участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события (т.е. при вероятность попадания на участок более одного события есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем вероятность попадания на него же ровно одного события).

3. Отсутствие последействия. Это свойство означает, что вероятность попадания того или другого числа событий на заданный участок оси 0 t не зависит от того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним участок (в частности, «будущее» потока не зависит от его «прошлого»; отсюда и термин – «отсутствие последействия»).

Определение. Нормальным (или распределением по закону Гаусса) называется распределение непрерывной случайной величины,

плотность распределения которой определяется формулой:

Интегральная функция распределения принимает вид:

Нормальное распределение определяется двумя параметрами а и, что символически обозначается следующим образом

Выясним геометрический смысл параметров распределения а и. Для этого исследуем поведение функции f (x). График функции f (x) имеет форму колокола и называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Рассмотрим свойства функции f (x):

• 1. Областью определения функции f (x) является вся числовая ось.

• 2. Функция f (x) может принимать только положительные значения, т. е. f (x)>0.

• 3. Предел функции f (x) при неограниченном возрастании | х | равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

• 4. Функция f (x) имеет в точке х = a максимум, равный.

• 5. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

• 6. Нормальная кривая в точках имеет перегиб.

При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо.

При изменении параметра изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f (x) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением кривая стягивается к прямой х = а.

1.Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значения из интервала (c; d), равна

2. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине, равна

3. Нормально распределенная случайная величина X с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему математическому ожиданию, что описывается «правилом трех сигм»:

• Нормальное распределение имеет ряд свойств, делающих его одним из самых употребительных в статистике распределений.

• Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой независимости). Также ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т.е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.

• Большинство встречающихся на практике случайных величин (таких, например, как количества продаж некоторого товара, ошибка измерения; отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров и т.д.) может быть представлено как сумма большого числа независимых случайных величин, оказывающих равномерно малое влияние на рассеяние суммы. Такие случайные величины принято считать нормально распределенными. Гипотеза о нормальности подобных величин находит свое теоретическое обоснование в центральной предельной теореме и получила многочисленные практические подтверждения.

• Нормальное распределение очень популярно в классической теории финансовых рынков. Оно применяются для моделирования доходностей рисковых активов, таких как, например, акции или валюты, распределения цены опционных контрактов и т.д.

Пример 4. Число проданного за неделю товара определенного вида Х можно считать нормально распределенной СВ. Математическое ожидание числа продаж 16,8 тыс. единиц товара. Среднее квадратическое отклонение этой случайной величины σ = 0,9 тыс. ед. Найти вероятность того, что за неделю будет продано от 16 до 18 тыс. единиц товара.

Решение. СВ Х распределена нормально с параметрами а = М(Х) = 16,8; σ = 0,9. Требуется вычислить вероятность неравенства 16 ≤ X ≤ 18. По формуле

Получаем

Дата добавления: 2014-01-20