КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Условие существования определенного интеграла
Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке. Замечание: Геометрический смысл интеграла есть площадь криволинейной трапеции. Sкр.тр.= . Свойства определенного интеграла. 1.. y 1
a b x 2. =.
3. Рассмотрим: интеграл выносится за знак интеграла. = k. Доказательство. = = k= k;
4. = + . Доказательство. =| по определению| = = == + = =+ .
5. Если [a,b] точкой c делится на 2 отрезок [a,c] и [c,b], то = + . Доказательство. Рассмотрим 1 случай: с между а и b. Так как определенный интеграл – предел последовательности | | | | | | | | | | интеграла суммы, не зависящего от способа a c b разбиения отрезка на части, то разобьем отрезок на части так, чтобы точка с совпала с точкой разбиения. Тогда = + . Перейдем в этом равенстве к пределу при х→0, получим: =+ ; = + . 2 случай: Пусть с лежит вне отрезка [a,b] a b c Тогда по показанному в 1случае, | | | = + ; Но = – ; Тогда = - ; Отсюда: = + .
6. Если на отрезке [a,b] ƒ(x)≥0, то ≥0. Доказательство. По условию ƒ(ζi)≥0, Δxi = xi – xi-1 >0; Тогда , таким образом, ≥0.
7. Если на отрезке [a,b] ƒ1(х)≥ ƒ2(х), то ≥. 8. ≤ ; Доказательство. Известно, что –≤ ƒ(х)≤ . По свойству 7 – ≤ ≤, по свойству абсолютной величины ≤ ;
9. Если функция y = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], то m(b-a) ≤ ≤ M(b-a) Оценка интеграла. Доказательство. Так как функция ƒ(х) непрерывна на [a,b], то по свойству непрерывной на отрезке функции, она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего значения M. Тогда m≤ ƒ(х) ≤ M По свойству 7: ≤ ≤ ; По свойству 3: m≤ ≤ M; По свойству 1: m(b-a) ≤ ≤ M(b-a); Геометрический смысл свойства 9: SM(b-a)
m
Sm(b-a)
a b
Теорема о среднем. Если функция непрерывна на [a,b], то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка ζ, в которой имеет место равенство: = ƒ(ζ) или = (b – a) ƒ(ζ); Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке по свойству 9 имеем: m(b-a) ≤ ≤ M(b-a); разделим на (b-a): m ≤ ≤ M; обозначим через μ, тогда: m ≤ μ ≤ M; Так как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по свойству функции, непрерывной на отрезке, она принимает любое значение, по крайней мере в одной точке, данного между m и M. Значит, найдется такая точка ζ [a, b], в которой функция принимает значение равное μ. т.е. ƒ(ζ) = μ; Таким образом = ƒ(ζ); Геометрический смысл: ƒ(х)
a ζ b
= ƒ (ζ)(b-a); Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием b-a и высотой, равной значению функции в некоторой «средней» точке ζ.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1301; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |