КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вычисление площадей плоских фигур. Основные формулы
Если фигура на плоскости x O y ограничена прямыми x = a, y = b (a < b) и графиками функций y = j (x), y = y (x), причём, j (x)≤ y (x) (a ≤ x ≤ b), то её площадь вычисляется по формуле S=. В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой r = r (j) и лучами j = a и j = b (a ≤ b), вычисляется по формуле S=. Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями x =(t), y =(t), то площадь фигуры вычисляется по одной из формул: S =, S =, S =где a и b - значения параметра t, соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении, при котором фигура остаётся слева. 23. Рассмотрим примеры. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (5.1-5.6) 5.1. y =, y =. 5.2. y =tg x, y =cos x, x =0. 5.3. y =2 x 2, y =. 5.4. y =ln(x +6), y =3ln x, y =0. 5.5. x = y 2, x = y 2+1, 5.6. y =2 x -3+1, y =23- x +1, y =. Решение. 5.1. Найдём точки пересечения графиков функций: =, x 2+3 x -4=0, x 1=-4, x 2=1. Вычисляем площадь S ====. 5.2. Найдём точку пересечения графиков функций
tg x =cos x, 3sin x =2cos2 x. Сделаем замену неизвестной sin x = z. Тогда 2-2 z 2=3 z, 2 z 2+3 z -2=0. Решая уравнение, находим, z 1=-2, z 2=. Решение z =-2 постороннее. Решаем далее,sin x =, x =. Находим площадь S ===.
5.3. Ищем точку пересечения графиков функций 2 x 2=, x 1=0, x 2=6. При 0≤ x ≤6 имеем ≤2 x 2. Поэтому S ===36. 5.4. Ищем точку пересечения графиков функций ln(x +6)=3ln x = ln x 3, x +6= x 3. Ясно, что x =2. Находим площадь фигуры. S =+. Интегралы вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям. Для первого интеграла полагаем u = ln(x +6), du =, v = x; для второго u = ln(x +6)-3ln x, du =, v = x. Получаем S =-+-=ln7- -+2ln8-6ln2-ln7-=-1+6 ln7-6 ln6+-2- -6ln8+1+6ln7+3=1+12 ln7-6 ln48=+1. 5.5. В этой задаче мы рассмотрим в качестве функции x, а y будет аргументом. Ищем точки пересечения графиков функций y 2= y 2+1. Находим y1=-2, y 2=2. Вычисляем площадь S ====
2(2-)=. При вычислении интеграла по отрезку [-2,2] мы учли чётность функции x =. 5.6. Здесь, как и в предыдущей задаче, удобнее считать y аргументом, а x - функцией. Тогда при вычислении площади нам потребуется только один интеграл, в то время как при вычислении площади фигуры, ограниченной графиками y 1=2 x -3+1, y 2=23- x +1, y 3=, понадобится два интеграла, что хорошо видно из рисунка.
Найдём выражение x через y. Получаем, x 1=, x 2=, ≤ y ≤2, так как точкой пересечения графиков функций x 1=и x 2=будет точка (3,2). Вычисляем площадь фигуры S ==. Вычислим интеграл, применяя формулу интегрирования по частям, полагая u =, du =, v = y -1. Тогда S =-2[-]= -2[0--]=-2[-]= -1=.
5.7. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = - x 2-2 x +3, касательной к ней в точке М (2,-5) и осью ординат. Решение. Найдём уравнение касательной y ¢=-2 x -2, y ¢(2)=-6. Тогда y +5=-6(x -2) - уравнение касательной, проходящей через точку М (2,-5). Перепишем уравнение в виде y = -6 x +7. Вычислим площадь фигуры S =====0-(-)=.
Вычислить площади криволинейных трапеций, образованных графиками функций (5.8-5.9) 5.8. y =, x Î[0,1). 5.9. y =4 e - x, x Î[0,¥). Решение. 5.8. При x Î[0,1) ≥0 и, следовательно S ===== =+=2. Отметим, что в этом примере площадь вычислена с помощью несобственного интеграла. 5.9. Имеем S =. Вычислим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям, применённой несколько раз. Воспользуемся обобщённой формулой интегрирования по частям (см. п. главы I). Положим u = x 4. Тогда u ¢=4 x 3, u ¢¢=12 x 2, u ¢¢¢=24 x, =24. Далее v = e - x , v 1== = - e - x , v 2== e - x , v 3= - e - x , v 4= e - x . Получим S ==---+. Поскольку , m =1,2,… (это доказывается последовательным применением правила Лопиталя), то мы получаем S ===24. 24. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах (5.10-5.14). 5.10. r = a cos3 j (a =2). 5.11. r = 2- cos j, r = cos j. 5.12. r =, r = (внутри окружности). 5.13. r =2 j, j = 0 (0≤ j ≤2 π). 5.14. r 2= 4cos2 j, r 2= 4sin2 j (пересечение областей, ограниченных этими кривыми).
Решение. 5.10. Так как функция r = a cos3 j имеет период T =, то при изменении j от 0 до 2 π радиус-вектор описывает три равных лепестка кривой. Допустимыми для j являются те значения при которых cos3 j ≥0, откуда ≤ j ≤, k =0, ±1, ±2,…. При k = 0 имеем первый лепесток, соответствующий -≤ j ≤. При k = 1 получаем пределы для j, соответствующие второму лепестку, ≤ j ≤. Если k = 2, то третий лепесток линии соответствует изменениям j: ≤ j ≤. В этих трёх промежутках заключена кривая, соответствующая изменению j от 0 до 2 π (полный оборот). Если брать k = 3, 4,…, то мы не получим новой линии, а будем каждый раз проходить одну и ту же линию. Поскольку лепестки одинаковы, то достаточно найти площадь одного из них и затем утроить. Имеем S ==3 a 2===. При вычислении интеграла мы учли чётность функции cos23 j. 5.11. r = cos j - это уравнение окружности (x -)2+ y 2=в полярных координатах. Найдём площадь фигуры между линией r = 2- cos j и окружностью. Ясно, что площадь фигуры есть разность площадей, ограниченных двумя линиями: S = S 1- S 2, где S 1=, S 2=. Вычисляем эти интегралы. S 1===. S 2====. Окончательно получаем S = =. При вычислении S 2 мы использовали чётность функции cos2 j. 5.12. Найдём все значения j, при которых cos2 j ≥0. Имеем ≤ j ≤, k =0, ±1, ±2,…. При k = 0 получаем ≤ j ≤, при k = 1: ≤ j ≤. Далее при k = 2, 3, … мы будем получать один из этих двух лепестков. Итак, фигура ограничена двумя одинаковыми лепестками. Нас интересует площадь фигуры внутри окружности r =. Найдём полярные координаты точек пересечения кривой r =с окружностью r =. Решая уравнение=, получаем j = , k = 0,±1, … Выберем значения j из отрезка [- π, π ], такие что cos2 j ≥0. Ясно, что достаточно рассмотреть =, =, что соответствует первому лепестку. Вычислим соответствующую площадь и удвоим её, что даст нам искомую площадь. Имеем S =+=+=+4(-)=+4-2. При вычислении второго интеграла мы учли симметрию фигуры относительно полярной оси. 5.13. Линия r =2 j - спираль, раскручивающаяся из начала координат O. Нам требуется определить площадь, ограниченную одним витком спирали и полярной осью.
Вычисляем площадь. S ===. 5.14. Линия r 2= 4cos2 j представляет из себя два одинаковых лепестка. Одному из них соответствуют углы ≤ j ≤, другому ≤ j ≤. Линия r 2= 4sin2 j образует два равных лепестка, один вписан в угол ≤ j ≤, второй - в угол π ≤ j ≤. Найдём точки пересечения линий.
4sin2 j = 4cos2 j, =,=. Луч j =делит часть нашей области в первом квадрате пополам, луч j =делает то же самое с частью области в третьем квадрате. Достаточно найти площадь части 0≤ r ≤, ≤ j ≤, и умножить на четыре. Это и будет искомое решение. Вычисляем S ===4(-)=4(1-)=2(2-). Перейдя к полярным координатам, найти площадь области, ограниченной кривыми (5.15-5.16) 5.15. x 2+ y 2=6 x, x 2+ y 2=6 y, точка M (,) принадлежит области. 5.16. x 2+ y 2=9, x 2+ y 2=2 x, x + y =0, x - y =0 (x >0, x 2+ y 2≤9). Решение. 5.15. Линии являются окружностями (x -3)2+ y 2=9 и x 2+(y -3)2=9. Пересечение кругов делится биссектрисой y = x первого квадранта на две равные части. Найдём площадь одной, затем удвоим. В полярных координатах x = r cos j, y = r sin j, уравнение x 2+ y 2=6x окружности принимает вид r = 6cos j, уравнение второй окружности имеет вид r = 6sin j. Вычисляем площадь. S ==18==(π -2). 5.16. Перейдём к полярным координатам x = r cos j, y = r sin j. Тогда граница области будет задаваться уравнениями r = 3, r = 2cos j, j = -, j = . Наша область - фигура, симметричная относительно полярной оси (оси O x). Найдём площадь заштрихованной области и результат удвоим. Получим искомый ответ. Полярные координаты точки пересечения окружностей находятся из уравнения 3 = 2cos j, cos j =, j =±. Вычисляем площадь. S =2(+)= π + 6= π + π +3=+3×-3×=. 25. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически (5.17-5.18). 5.17. x = a cos t, y = b sin t. 5.18. x = 3 sin t, y = 3 sin2 t. Решение. 5.17. Данная линия есть эллипс +=1. Используя формулу для вычисления площади, находим S ==== π ab. 5.18. Выражая y через x, получаем y =±2 x т.е. кривая симметрична относительно осей ОХ, ОУ. При t Î[0,] x ≥0 и y =2 x ≥0, график в первом квадрате - четвертая часть всей кривой. При изменении t от 0 до π точка (x, y) описывает на плоскости x O y замкнутую кривую, симметричную относительно оси O x. При изменении t от π до 2 π x изменяется сначала от 0 до -3 (t изменяется от π до ), затем от -3 до 0 (≤ t ≤2 π). Ордината y = 2 x ≥0 - при t Î[ π, ] и y = 2 x ≤0 при t Î[ , π ], то есть, при изменении t от π до 2 π мы получаем снова замкнутую кривую, симметричную первой кривой относительно оси ординат.
Мы найдём площадь фигуры, соответствующей изменению t от 0 до , а затем умножим результат на четыре. Это и даст нам искомый ответ. Вычисляем S ======24. 26. Вычисление длины кривой. Основные формулы. Если плоская кривая задана как график функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и производная y¢ = f¢ (x) непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом l ==. Если кривая задана параметрически x = x (t), y = y (t), a ≤ t ≤ b, и производные x¢ (t) и y¢ (t) непрерывны на отрезке [ a, b ], то длина дуги кривой выражается интегралом l =. Если кривая задана уравнением r = r (j), a ≤ j ≤ b, в полярных координатах и r¢ (j) непрерывна на отрезке [ a, b ], то длина l дуги кривой выражается интегралом l =. Если Г - пространственная кривая, заданная параметрически: x = x (t), y = y (t), z = z (t), a ≤ t ≤ b, производные x¢ (t), y¢ (t) и z¢ (t) непрерывны на отрезке [ a, b ], то длина Г выражается по формуле l =. Замечание. Пусть Г - некоторая кривая на плоскости x O y. Выражение dl =, где dx 2=(dx)2, dy 2=(dy)2, называется дифференциалом длины дуги. Используя это понятие, можно единообразно записать формулу для вычисления длины кривой l ==, где a и b (a ≤ b), обозначают границы изменения параметра, с помощью которого задаётся кривая. Пусть кривая Г есть график функции x = x (y), c≤ y ≤ d. Тогда dx = x¢ (y)dy и мы получаем l ==. Если кривая Г задана параметрически, то dx = x¢ (t)dt, dy = y¢ (t)dt и мы получаем l ===. Задание кривой с помощью полярных координат: r = r (j), a ≤ j ≤ b, есть частный случай параметрического задания: x = r (j)cos j, y = r (j)sin j. Параметром здесь является j. Вычисляя дифференциалы dx = (r ¢ cos j - r sin j) dj, dy = (r ¢sin j + r cos j) dj, убеждаемся, что dl ==. Для пространственной кривой Г дифференциалом длины дуги называется выражение dl =. Длину кривой Г можно выразить интегралом l ==, где a и b (a ≤ b) - концы отрезка [ a, b ] - промежутка изменения параметра, с помощью которого задаётся кривая. 27. Рассмотрим примеры. Вычислить длину дуги кривой (5.19-5.24). 5.19. y = 1-ln cos x, 0≤ x ≤. 5.20. y = 2, 0≤ x ≤1. 5.21. x = , 0≤ y ≤4. 5.22. 3 y 2 = x (x -1)2 (длину петли). 5.23. y = 2(-),0≤ x ≤ ln4. 5.24. y =, 0≤ x ≤. Решение. 5.19. Так как y ¢ == tg x, то l ======= == ln(2+). 5.20. y’ =, l =======. Можно было рассмотреть нашу кривую как график функции ,. Тогда вычисление длины кривой свелось бы к нахождению интеграла l =. 5.21. Вычисляем производную =и далее ==, откуда l ====. 5.22. Из условия следует, что y =0 при x =0 и x =1. Линия симметрична относительно оси O x, так как y входит в уравнение в чётной степени. Вычислим длину половины петли, задаваемой уравнением y =, . (Вторая половина петли есть график функции y = -). Так как , =, то получаем l ===. 5.23. Делаем предварительные вычисления. =-=. Вычисляем длину кривой l ====2. 5.24. Вычисляем производную:=тогда ==. Вычисляем длину кривой l ======. Вычислить длину кривой, заданной в полярных координатах (5.25-5.28). 5.25. r =, -≤ j ≤. 5.26. r = a (1+cos j), 0 ≤ j ≤ 2 π (кардиоида). 5.27. r =th, 0 ≤ j ≤ 2. 5.28. r = acos4. Решение. 5.25. Вычисляем длину кривой по формуле l ======. 5.26. l ===== =-=-=4 a +4 a =8 a. 5.27. l ===== =====1-th1. 5.28. Функция cosимеет период 8 π. Функции | cos|, cos2, cos4и т.п. имеют период 4 π. Поскольку cos(-) = cos, то линия симметрична относительно полярной оси и при изменении j от 0 до 2 π полярный радиус опишет половину линии. Найдём длину половины кривой (на рисунке) и затем удвоим результат. Вычисляем = a 2[+]=. Отсюда следует l ====8 a (1-)=. Вычислить длину кривой, заданной параметрически (5.29-5.33). 5.29. x = 6 t 5, y = 5 t (1- t 8), 0≤ t ≤1. 5.30. x = ln(1+ t 2), y = 2arctg t -2 t +8, 0≤ t ≤1. 5.31. x = t -sh2 t, y = 2ch t, 0≤ t ≤1. 5.32. x = 2cos3 t, y = 2sin3 t. 5.33. x = t 2, y = t - t 3 (длину петли). Решение. 5.29. Вычисляем, используя соответствующую формулу l ===5=5= ==16. 5.30. =+=. Поэтому l ===2(-1). 5.31. =(1-ch2 t)2+4sh2 t =|ch2 t -1=2sh2 t |=4sh4 t +4sh2 t =|1+sh2 t =ch2 t |=4 sh2 t ch2 t = =sh22 t. Поэтому l ==== sh21. 5.32. Уравнение линии (астроиды) в декартовых координатах имеет вид или . Отсюда следует, что линия симметрична относительно обеих осей координат. Вычислим четверть длины астроиды, что соответствует изменению параметра t от 0 до , и результат учетверим. Вычисляем =36cos4 t sin2 t +36 sin4 t cos2 t =36 sin2 t cos2 t =9 sin22 t. Отсюда следует l ===6+6=12. 5.33. Если выразить y через x, то мы получаем y = , откуда следует, что при x Î[0,] графики симметричных относительно оси O x функций y = и y = образуют замкнутый контур на плоскости x O y (петлю). График функции y = получается, когда t изменяется от -1 до 0, а при изменении t от 0 до 1 точка (x, y) движется по графику функции y = от точки O (0,0) до точки A(,0). Вычисляем сначала =12 t 2+(1-3 t 2)2=(1+3 t 2)2. Поэтому l ===4. Вычислить длину дуги пространственной кривой (5.34-5.37) 5.34. x =3 t - t 3, y =3 t 2, z =3 t + t 3, 0≤ t ≤1. 5.35. x = at, y = , z =, ≤ t ≤1. 5.36. x = et, y = e-t, z = t, 0≤ t ≤2. 5.37. x = a (1+cos t), y = a (t -sin t), z =4 a sin, 0≤ t ≤2. Решение. 5.34. Вычисляем длину кривой по формуле l ======4. 5.35. ====. Отсюда получаем l ====. 5.36. Имеем = e 2 t + e- 2 t +2 =(et + e-t)2. Откуда получаем l ====2 sh 2. 5.37. Сделаем предварительные вычисления. = a 2[sin2 t +(1-cos t)2+4]= a 2[2(1-cos t)+4]=4 a 2. Мы использовали здесь тригонометрическую формулу 1- cos t =. Вычисляем длину кривой l ==4 a.
28. Вычисление объёмов и площадей поверхностей. Основные формулы. Пусть S (x) - площадь сечения тела V плоскостью, перпендикулярной к оси O x в точке с абсциссой x, a и b - левая и правая границы изменения x. Тогда объём тела V выражается интегралом V =. Если тело V образовано вращением вокруг оси O x криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x)≥0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объём тела V вычисляется по формуле V ==. Если тело образовано вращением вокруг оси O y криволинейной трапеции, образованной под графиком функции x = g (y), c ≤ y ≤ d (g (y)≥0), то объём тела выражается интегралом V ==. Если вокруг оси O y вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции y = f (x)≥0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объём получившегося тела выражается интегралом V ==. Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменных в указанных выше формулах. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси O x дуги Г кривой y = f (x), a ≤ x ≤ b, где f (x) имеет на отрезке [ a, b ] непрерывную производную , выражается интегралом S ==. Поскольку - дифференциал длины дуги, то формулу можно записать в виде S =. Пусть кривая задана параметрически, x = x (t), y = y (t), a ≤ t ≤ b, где функции x (t) и y (t) имеют на отрезке [ a, b ] непрерывные производные x ¢(t) и y ¢(t). Площадь S поверхности, образованной при вращении данной кривой вокруг оси O x равна S ==. Задание кривой с помощью полярных координат r = r (j), a ≤ j ≤ b, есть частный случай параметрического задания, так как в этом случае x = r (j) cos j, y = r (j) sin j.
29. Рассмотрим примеры. 5.38. На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскости сегментов перпендикулярны к плоскости круга. Найти объём образованного таким образом тела. Решение. Найдём в начале площадь параболического сегмента с основанием a и высотой h. (см. рис. б). Расположим оси координат так, что основание сегмента будет находиться на оси абсцисс и начало координат делит это основание пополам. Уравнение параболы имеет вид y = a (x -)(x +)= a (x 2-). Так как y (0)= h, то a = -. Тогда уравнение параболы принимает вид y = - (x 2-). Ищем площадь сегмента S ==== ah. Расположим оси координат так, как показано на рис. а. Тогда длина половины хорды, пересекающей ось абсцисс в точке x есть . Следовательно, площадь параболического сегмента, соответствующего значению x, равна S (x)=. Согласно формуле для объёма, получаем V =======. 5.39. Найти объём тела, ограниченного поверхностями z = 4- y 2, x =0, x = a, y =0, z =0. Решение. Найдём площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси O x (0≤ x ≤ a). Нам необходимо знать площадь половины параболического сегмента с a =2, h =4. Как мы знаем из решения предыдущей задачи, эта площадь равна S (x)==, 0≤ x ≤ a. Отсюда получаем V ===. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (5.40-5.51) 5.40. y = sin x, x = 0, 0≤ x ≤ π, вокруг оси а) O x, б) O y. 5.41. y = 2 x, y = , x =0, y =0, вокруг оси O x. 5.42. y = x (3- x), y = x, вокруг оси а) O x, б) O y. 5.43. y = cos x, y =1, 0 ≤ x ≤ 2 π, вокруг оси O y. 5.44. y = ex +6, y = e 2x, x =0, вокруг оси а) O x, б) O y. 5.45. y =, y =0, x ≥1, вокруг оси O x. 5.46. y =, y =0, x ≥0, вокруг оси O x. 5.47. y =, y =0, вокруг оси O y. 5.48. Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 4328; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |