Волновое уравнение

Уравнение в частных производных второго порядка получило название волнового уравнения:

(1.15)

Продифференцировав дважды функцию по и получим:

(1.16)

(1.17)

Штрихи обозначают дифференцирование по аргументу . Подставив в уравнение (1.16) значение , определенное из (1.17) получим волновое уравнение. Таким образом, функции и , описывающие плоские бегущие волны, удовлетворяют уравнению (1.15).

Наиболее общим аналитическим выражением для плоских волн, распространяющихся вдоль какой-то произвольной оси , является функция

, (1.18)

где – направляющие косинусы единичного вектора вдоль оси , которые удовлетворяют условию:

(1.19)

Функция (1.18) является решением волнового уравнения , где .

Таким образом, если какая-нибудь физическая величина удовлетворяет уравнению вида:

(1.20)

можно утверждать, что процесс изменения величины носит характер плоской волны, распространяющейся в ту или иную сторону со скоростью .

Для гармонических волн волновое уравнение можно упростить, применив метод комплексных амплитуд:

(1.21)

называется комплексной амплитудой гармонической волны.

В связи с простотой перехода от комплексных амплитуд к мгновенным значениям, волновое уравнение (1.20) можно записать не для величины , а для комплексной амплитуды. Смысл такой записи состоит в упрощении волнового уравнения, так как в него не входят производные по времени.

Для этого подставим выражение (1.21) в уравнение (1.20) .

Взяв производную по , сократив на и отбросив знак , получим:

(1.22)

Мы получили уравнение не зависящее от времени. Оно называется однородным волновым уравнением Гельмгольца относительно комплексной амплитуды гармонической волны. Выражение (1.22) описывает процесс распространения плоской гармонической волны в однородной анизотропной среде. Процесс распространения волн в присутствии источников колебаний либо каких-то внешних воздействий описывается неоднородным волновым уравнением Гельмгольца:

(1.23)

– функция, характеризующая внешние воздействия.

Дата добавления: 2014-01-11