Системы дифференциальных уравнений

План

Лекция 3. Системы дифференциальных уравнений

3.1. Системы дифференциальных уравнений

3.2. Операторный метод

Многие задачи из разных областей науки и техники приводят к системам дифференциальных уравнений. Так бывает, когда несколько зависимых друг от друга величин меняются со временем. Приведём ряд примеров.

3.1.1. Примеры

I. Деление ядер атомов

Под этим физическим явлением понимается самопроизвольное, или под действием нейтронов, раскалывание ядра материнского атома на 2 дочерних ядра. Так например, при бомбардировке урана-235 нейтронами образуются ядра щёлочноземельных элементов.

Пусть в результате деления образуется два новых вещества с массами х (t) и у (t). Из физических законов следует, что приращения масс образующихся веществ пропорциональны количеству оставшегося радиоактивного вещества, которое в начальный момент времени предполагается равным М, и рассматриваемому промежутку времени, т.е.

,

где l_x и l_y - постоянные радиоактивного распада для первого и второго веществ. Если уравнения разделить на dt, то получим линейную систему дифференциальных уравнений. Поскольку бросается в глаза сходство правых частей этих уравнений, то естественно будет разделить, например, второе уравнение на первое и получить простейшее дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Учитывая, что в начальный момент времени дочерних ядер не было, т.е. х (0) = у (0) = 0, находим С = 0.

Теперь в первое уравнение системы надо подставить найденное у и получить ещё одно дифференциальное уравнение уже относительно только х:

. (38)

Снова воспользуемся начальным условием: х (0) = 0, откуда следует

.

Из равенства (38) теперь можно найти зависимость количества ядер первого дочернего вещества от времени:

.

В силу того, что х и у в систему уравнений входят симметрично, легко догадаться, как выглядит решение для второго образующегося вещества:

.

II. Уравнение танкового боя (уравнение Ланчестера)

Пусть до начала битвы у двух танковых армий было M и N танков соответственно. Естественно предположить, что во время боя уменьшение числа танков у каждой из сторон пропорционально количеству танков противника в данный момент времени и рассматриваемому промежутку времени. Тогда получится система двух связанных дифференциальных уравнений:

,

где a и b - коэффициенты, зависящие от различных характеристик (скорострельность, крепость брони, подготовки танкистов и т.д.) танков.

Эту систему уравнений можно свести к одному дифференциальному уравнению, для чего продифференцируем первое уравнение системы и после этого воспользуемся вторым уравнением: . Получилось изученное в п. 1.4.4.2 однородное линейное ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: . Его характеристическое уравнение такое: , а общее решение запишется в виде . Из начального условия следует: .

Зная , найдём изменение со временем количества танков у второй стороны:

.

Воспользовавшись начальным условием , получим второе уравнение для вычисления констант интегрирования С ₁ и С ₂:

.

Решая систему уравнений

,

найдём: . И окончательный ответ такой:

.

Анализ этих формул показывает, что победит тот, у кого бóльшая из величин: и , откуда видно, что количество танков важнее их характеристик.

III. Система «хищник-жертва» (система Лотки-Вольтерра)

В п. 1.3.2.2 рассматривалось изменение некой популяции животных при наличии конкуренции за пищу. Но гораздо чаще встречается ситуация, когда у этих животных есть «враги», для которых они являются пищей.

Рассмотрим классическую систему «хищник-жертва» (волк-заяц, щука-карась и т.п.). Предположим, что жертвы получают неограниченное питание из окружающей среды, а хищники питаются только жертвами. Тогда для жертвы справедливо уравнение нормального размножения (5), но с поправкой на уничтожение хищником жертвы, которая пропорционально количеству хищников и объёму жертвы, съедаемому хищником (например, чтобы насытиться, щука должна съесть либо одного карася, либо трёх пескарей). С другой стороны, в отсутствии жертвы хищники вымирают, а рост их численности зависит от размеров популяций как самих хищников, так и жертвы. Таким образом, мы приходим к системе нелинейных дифференциальных уравнений

,

где х - численность жертвы, у - численность хищника, k ₁ x - естественный рост жертвы, - а ₁ ху - убывание жертвы за счёт её поедания хищником, - k ₂ y - убыль хищника в отсутствии жертвы, а ₂ ху - рост численности хищника за счёт поедания жертвы.

Эту систему можно свести к одному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка, продифференцировав первое уравнение и подставив в него затем производную из второго уравнения:

.

Приведённые примеры показывают актуальность изучения систем дифференциальных уравнений.

3.1.2. Общие положения

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомые функции и их производные. При этом число неизвестных функций равно числу уравнений.

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций , которые при подстановке в каждое из уравнений превращают его в тождество.

В общем виде система первого порядка записывается так:

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида

.

Нормальная система уравнений может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы. Именно так мы и поступали в примерах II и III. Покажем это ещё раз на примере системы трёх уравнений.

Пример. Привести к дифференциальному уравнению третьего порядка нормальную систему трёх линейных дифференциальных уравнений:

.

Продифференцируем первое уравнение:

.

Продифференцировав ещё раз это равенство, получим требуемое:

.

Можно проделать такую операцию и в обратном порядке, т.е. из дифференциального уравнения n -го порядка получить нормальную систему дифференциальных уравнений. Для этого введём новые функции:

,

после чего получим систему дифференциальных уравнений первого порядка

.

В следующем разделе мы рассмотрим простейшие системы линейных дифференциальных уравнений.

3.1.3. Системы линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами может быть решена двумя способами. Первый способ основан на составлении характеристического уравнения

.

Так же, как и в п. 1.4.4.2., будем искать решение в виде экспонент, которые не меняются при дифференцировании:

.

Подставляя это в систему, получим после сокращения на экспоненту следующую систему уравнений, в которой неизвестными являются три величины (a, b и k):

. (39)

Как известно из теории систем линейных уравнений, а это однородная система, кроме тривиального нулевого решения (), нетривиальное может быть только в том случае, когда определитель матрицы системы равен нулю (в этом случае получается бесчисленное множество решений):

Таким образом, для неизвестного параметра k получилось квадратное уравнение, которое, как и в случае линейного однородного ОДУ второго порядка, называется характеристическим. Видно, что приведённый выше определитель может быть записан сразу из заданной системы дифференциальных уравнений. Достаточно коэффициенты при х и у в системе записать в виде определителя, а затем к элементам в главной диагонали приписать - k. Поэтому в примерах мы так и будем поступать для ускорения вычислений.

После нахождения корней характеристического уравнения, а здесь опять могут быть три варианта (D > 0, D = 0, D < 0), найденные k подставляют в систему (39) и находят a и b.

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

.

Решение. Записываем характеристическое уравнение:

Его корнями будут: k ₁ = 2, k₂ = -7.

Теперь k = 2 подставляем в систему (37) и получаем следующее:

.

Заметим, что в системе уравнения идентичны, что и должно было быть для того, чтобы система имела бесконечное множество решений. В следующих примерах ситуация будет аналогичной.

Таким образом, мы нашли первое решение данной системы: .

Второе решение найдём, полагая k = -7:

.

А значит, второе решение таково: .

В силу линейности системы сумма решений также является решением, и это будет общее решение заданной системы дифференциальных уравнений:

.

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

.

Решение. Записываем характеристическое уравнение:

Корень получился кратный: k ₁ = k₂ = 4.

В этом случае, по аналогии с дифференциальным уравнением второго порядка, решение системы приходится искать в виде

. После подстановки этих выражений в систему и сокращения на экспоненту получим новую систему уравнений

.

Поскольку эти равенства должны выполняться при любых значениях переменной t, то, значит, неизвестные параметры должны удовлетворять системе уравнений

.

Таким образом, ответ следующий:

.

Пример 3. Решить систему дифференциальных уравнений

.

Решение. Записываем характеристическое уравнение:

Корни равны: , они отличаются только знаками мнимых частей (корни комплексно сопряжённые).

Возьмём один из этих корней (3 + i) и подставим его в систему (38) применительно к нашему случаю:

.

На первый взгляд, получились два разных уравнения, хотя раньше уравнения совпадали. Но после умножения первого уравнения на 2, а второго - на (5 - i) увидим, что, как и положено им быть, они одинаковы:

.

Теперь можно записать решение исходной системы:

.

Решения получились комплексными, и если их подставить в заданную систему, то отдельно должны быть равны действительные и мнимые части. Поэтому в случае комплексно сопряжённых корней характеристического уравнения первым решением будут действительные части х и у, умноженные на константу С ₁, в вторым - мнимые части, умноженные на константу С ₂. Окончательно, имеем

.

Вторым способомрешения системы дифференциальных уравнений является приведение её к однородному ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Именно таким способом было решено уравнение танкового боя. Рассмотрим пример отыскания решения системы дифференциальных уравнений данным методом.

Пример 4. Решить систему дифференциальных уравнений

.

Решение. Продифференцируем первое уравнение по переменной t и затем воспользуемся вторым уравнением:

.

Выразив у из первого уравнения, подставим его в полученное:

.

Для последнего уравнения записываем характеристическое уравнение: , корни которого равны . Значит, . Поскольку , а , то

.

Дата добавления: 2014-01-11