Операторный метод

3.2.1. Преобразование Лапласа

В математике встречаются случаи, когда одной функции ставится в соответствие другая функция. Можно привести такие примеры: 1) функция - обратная ей , 2) функция - её производная , 3) функция - первообразная . Но есть и более изощрённые преобразования функций. К ним относятся преобразования Фурье и Лапласа. Первое превращает функцию f (t) в функцию , и такое преобразование используется, например, при решении уравнений с частными производными.

Одним из наиболее эффективных методов математического анализа, позволяющий с помощью простых правил решать сложные математические задачи, является операторный метод. Идея этого метода, называемая ещё операционным исчислением, была предложена английским физиком и инженером Хевисайдом. Впоследствии благодаря многочисленным работам математиков операционное исчисление получило строгое математическое обоснование и развитие с помощью интегрального преобразования Лапласа. Это преобразование можно применять для решения ОДУ и систем таких уравнений.

Преобразованием Лапласа функции f (t) (изображением функции) называется функция

. (40)

Стоящее в этой формуле выражение L { f (t)} обозначает, что на функцию f (t), называемой оригиналом, производится воздействие, в результате которого функция f (t) переходит в новую функцию F (p). Применив преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, находят изображение искомой функции, а затем, применяя обратное преобразование Лапласа L ^-1, по изображению восстанавливают саму функцию. В математических справочниках можно найти таблицы оригиналов и их изображений.

Приведём формулы преобразования Лапласа для некоторых функций, необходимые для решения задач.

1) ; 2) ;

3) ;

4) ; 5) ;

6); 7); 8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ; 13) ;

14) ; 15) ;

16)

.

Преобразование Лапласа часто записывают и в таком виде: .

Поясним приведённые формулы двумя примерами.

Пример 1. Найти изображение функции .

Решение. Воспользовавшись формулой 7, в которой надо считать a = -4, а = 3, получим .

Пример 2. Найти оригинал для изображения .

Решение. Просматривая все шестнадцать формул, видим, что данное изображение совпадает с правой частью формулы 16. Отмечаем, что А = 2, В = 5, а = 8, b = 5. Осталось в соответствии с формулой 16 записать оригинал:

.

Укажем некоторые свойства преобразования Лапласа.

1) Если известно преобразование Лапласа какой-то функции , то преобразование Лапласа этой функции с изменённым масштабом аргумента at запишется так: .

2) Преобразование Лапласа функции f (t - с) записывается следующим образом (теорема запаздывания): .

3) Поскольку интегрирование является линейной операцией, то

.

4) Преобразование Лапласа производной функции, а это непременно встретится при решении дифференциальных уравнений, сводится к следующему (применяем интегрирование по частям):

,

где предположено, что на бесконечности функция f (t), если и возрастает, то не быстрее, чем экспонента.

Из ответа видно, что здесь необходимо знать значение функции в нуле, а это означает, что операторный метод применим только для решения задачи Коши, в которой задаётся начальное условие.

5) Преобразование Лапласа от производной произволь- ного порядка таково:

.

3.2.2. Решение задачи Коши

Решим с помощью операторного метода ОДУ с начальными условиями:

, .

Для этого умножим уравнение на и после этого проинтегрируем от 0 до ¥. Это и будет преобразованием Лапласа (40). Обозначив L { x } через , получим уже алгебраическое уравнение для изображения искомой функции:

.

По найденному изображению осталось восстановить саму функцию х, применив обратное преобразование Лапласа. Но поскольку у нас есть таблица для шестнадцати функций, этого будет достаточно, чтобы получить ответ. Осталось только с помощью метода неопределённых коэффициентов разложить правую часть последнего равенства на простые дроби, как это делалось при интегрировании рациональных функций, и уже по ним найти оригиналы.

Сделаем необходимые преобразования:

. (41)

После приведения правой части равенства к общему знаменателю и приравнивания после этого числителей получим:

.

Чтобы это равенство соблюдалось при любых р, надо потребовать равенство коэффициентов, стоящих при одинаковых степенях р. В результате получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными, которую решим методом Гаусса:

.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований сведём её к ступенчатой матрице:

.

Таким образом, мы получили новую систему уравнений ступенчатого вида, из последнего уравнения которой можно найти Е: -4 Е = 12 Þ Е = -3. Решая предпоследнее уравнение, найдём D: 3 D + E = -9 Þ D = -2. Затем находим С: -5 С -8 D -8 E = 35 Þ C = 1. Запишем второе уравнение системы: . Осталось из первого уравнения найти А: .

Вернёмся теперь к формуле (41) для изображения искомой функции х (t), подставив туда найденные коэффициенты:

.

Сравнивая пять слагаемых правой части этого равенства с приведёнными выше шестнадцатью формулами табличных преобразований Лапласа, замечаем сходство этих слагаемых с правыми частями формул 4, 3, 5, 5, 5. Применяя фактически обратное преобразование Лапласа, окончательно получим оригинал:

.

Это и будет решением данной задачи Коши.

Заметим, что рассмотренное уравнение является линейным неоднородным ОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами, изученными в п. 1.4.6. Поэтому его можно было решить и тем способом. Читателю предлагается это проделать и сравнить результаты. Они должны быть, естественно, одинаковыми.

3.2.3. Решение систем дифференциальных

уравнений

Операторным методом могут решаться и системы дифференциальных уравнений в случае задания начальных условий.

Пример. Дана система . Найти решение при начальных условиях: .

Решение. Если первую задачу можно было решить и обычным способом, то данную систему в предыдущих разделах мы не рассматривали. Поэтому применим преобразование Лапласа к обоим уравнения системы:

Представим полученные изображения в виде суммы простых рациональных дробей с некими коэффициентами.

.

Сравнивая дроби с одинаковыми знаменателями и приравнивая слагаемые с одинаковыми степенями р, получим систему уравнений для А,…, Е:

.

Из первого уравнения вычтем третье, а из второго - четвёртое, после чего найдём все остальные коэффициенты:

Таким образом, изображение равно

.

Восстанавливая оригиналы по формулам преобразований Лапласа (1, 4, 5, 5) получим один из ответов:

.

Осталось найти у (t). Проделаем ту же процедуру, что и для :

.

Отсюда получаем систему уравнений для неизвестных коэффициентов:

.

Оригиналом (решением исходной системы) будет функция

.

Дата добавления: 2014-01-11