Устойчивость по первому приближению

При исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений

(10)

где дифференцируемые в окрестности особой точки функции, часто применяется следующий метод.

Пользуясь дифференцируемостью функций , представляют систему (10) в окрестности в виде

, (11)

где имеют порядок выше первого относительно , и вместо точки покоя системы (10) исследуют свойства устойчивости той же точки покоя, но для линеаризованной в ее окрестности системы

, (12)

которая называется системой уравнений первого приближения для (11).

Очевидно, что исследование свойств устойчивости системы уравнений первого приближения, является задачей более легкой, чем аналогичные исследования исходной нелинейной системы.

Теорема 1. Если система уравнений (11) стационарна в первом приближении, все члены в достаточно малой окрестности начала координат при удовлетворяют неравенствам , где и , причем (т.е., если не зависят от , то их порядок выше первого относительно нормы: и все корни характеристического уравнения

, (13)

имеют отрицательные вещественные части, то тривиальные (нулевые) решения системы уравнений (11) и системы уравнений (12) асимптотически устойчивы.

Теорема 2. Если система уравнений (11) стационарна в первом приближении, все функции удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (13) имеет положительную вещественную часть, то точка покоя системы (11) и соответственно системы (12) неустойчива.

Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Нелинейности системы удовлетворяют условиям теоремы 1 и 2. Система первого приближения в окрестности имеет вид:

Характеристическое уравнение

имеет корни . Следовательно, в силу теоремы 2, рассматриваемая точка покоя системы может быть классифицирована как неустойчивый фокус.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

.

Используя разложения функций и в ряд Маклорена, представляем систему в виде

,

где функции и удовлетворяют условиям теоремы 1 и теоремы 2.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Откуда легко находятся собственные числа матрицы системы первого приближения. Нетрудно видеть, что они имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, точка покоя – асимптотически устойчива – устойчивый фокус.

Дата добавления: 2014-01-11