Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова

Второй метод, или, как принято сейчас говорить – прямой метод, получил наибольшее распространение, благодаря своей простоте и эффективности. Суть его заключается в построении для исследуемой системы дифференциальных уравнений некоторой непрерывной однозначной функции, так называемой функции Ляпунова такой, что по свойствам этой функции и ее полной производной, взятой в силу системы

,

можно говорить о поведении нулевого решения системы (1), в смысле его устойчивости (здесь – правые части исследуемой системы).

В частности, самим А.М. Ляпуновым была сформулирована следующая теорема.

Теорема (А.М. Ляпунова). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что, возможно, найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы или знакоопределенной (знакопостоянной) функцией противоположного знака с , или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

В частности, если условие

при

заменить более сильным условием:

при ,

а функция непрерывна при , то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Теорема (Н.Г. Четаева). Пусть система (1) обладает нулевым решением. Пусть в некоторой области пространства переменных существует дифференцируемая функция , причем:

1. точка принадлежит границе области ;

2. на границе области при ;

3. в области при имеем , , функция непрерывна.

Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво.

Не существует общего метода построения функции Ляпунова , когда общее решение системы (1) неизвестно. В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы

,

или в виде суммы квадратичной формы и интегралов от нелинейных функций, входящих в правую часть данной системы.

Дата добавления: 2014-01-11