Для того чтобы положительный рядсходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была бы ограниченной, причём сумма ряда в этом случае равна .
Доказательство
1) Ряд сходится, т.е. последовательность его частичных сумм имеет предел, но всякая сходящаяся последовательность ограничена: .
2) , но , так как , следовательно, последовательность неубывающая и при этом ограниченная сверху. По теореме о пределе монотонной последовательности , т.е. ряд сходится.
Все признаки сходимости и расходимости положительных рядов основаны на этой теореме. Но непосредственное её применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда.
Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путём сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе этого метода лежат три теоремы сравнения.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление