Виробнича функція : аналіз рішення

У сфері виробництва при аналізі кількісного співвідношення показника і факторів у ролі показника можуть виступати: обсяг випущеної продукції, прибуток, товарообіг, рентабельність, собівартість одиниці продукції, фондовіддача й інше. Факторами для цих показників можуть бути: робоча сила, основні засоби або капітал, земля та її надра, продуктивність суспільної праці, рівень розвитку науки, техніки, освіти та інше.

У більш вузькому смислі під виробничою регресією розуміють залежність між обсягом виробництва (індексом виробництва) і величиною різних виробничих ресурсів. У загальному вигляді виробнича регресія може бути записана так:

де - обсяг виробленої продукції, а Х₁ Х₂,..., X_m — фактори, що визначають обсяг виробництва. Виробнича регресія може використовуватися як на мікро рівнях, так і на макрорівнях. У випадку макроекономічної виробничої регресії народне господарство розглядається як єдина система, що функціонує по принципу «витрати-випуск».

При побудові і використанні моделі виробничої регресії слід пам'ятати, що результати обсягу виробництва згладжуються (усереднюються), разом з тим побудована модель дає можливість зробити якісний аналіз виробництва в цілому.

Постановка задачі. Підприємству необхідно визначити кількість продукції та рівень витрат виробничих факторів, щоб максимізувати прибуток.

Розглянемо спочатку однопродуктову фірму, яка використовує виробничих факторів. Введемо вектор - кількість витрат факторів виробництва. Тоді потужність виробництва можна задати функцією, що відображає простір виробничих витрат X в число, яке символізує величину випуску продукції:

(4.30)

Така функція q = F(x) називається виробничою функцією _t і задовольняє наступні аксіоми:

1. F(0) = 0 (неможливість отримати продукт без витрат виробничих факторів).

Підсилена умова: 0 (тобто, якщо хоч один фактор є нульовим, нульовим є і значення виробничої функції).

2. Монотонність, існує така економічна область X., що:

(4.31)

3. Угнутість (випуклість вгору). Існує така особлива опукла область ,

(4.32)

Закон спадаючої віддачі (ЗСВ, Иогана Гюнена (1783-1850)): якщо поступово витрати факторів збільшуються, то досягається така особлива область, де поширення продуктивності спадає.

Типи виробничих функцій:

Розглянемо поширені виробничі функції для двох виробничих факторів (п=2, наприклад, К - обсяг витрат капіталу, L - обсяг праці), не обмежуючи загальності

1. Лінійна виробнича функція

2. Виробнича функція моделі Леонтьева c_s –кількість витрат вид у і на виробництво одиниці продукції.

3. Виробнича функція аналізу способів виробничої діяльності:

- число способів виробничої діяльності;

- рівень інтенсивності виробничої діяльності;

- випуск продукції при одиниці інтенсивності .

4. Виробнича функція зі сталою еластичністю

5. Виробнича функція П. Дугласа і Д. Кобба (робота «терія виробництва» 1028 рік).

Останню виробничу функцію розглянемо більш докладніше.

Обсяг виробленої продукції У взагалі залежить від двох цінових факторів: чисельності робочої сили X₁ та основних засобів (капіталу) даної галузі Х₂

Для з'ясування форми регресійного зв'язку введемо гіпотези. Будемо вважати, що виробнича регресія неперервна і двічі диференційована.

Гіпотеза 1. Якщо збільшується один із факторів X₁ або X₂ при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується.

Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни одного з факторів Х₁ та Х₂ математично виражається як частинна похідна по цьому фактору

Гіпотеза 2. Приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів. Іншими словами, приріст одного із факторів на одиницю викличе збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю.

Гіпотеза 3. Виробнича функція є однорідною функцією відносно факторів X₁, Х₂ з показником однорідності а. Це означає, що при одночасному збільшенні значень факторів у разів (будь-яке стале число) обсяг виробленої продукції збільшиться у разів.

При виконанні гіпотези 3 згідно з теоремою Ейлера для виробничої регресії є справедливою тотожність

Гіпотеза 4. На лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною.

На основі цих гіпотез отримано виробничу регресію Кобба-Дугласа

(4.33)

Система нормальних рівнянь для оцінки параметрів виробничої регресії Кобба-Дугпаса

Нехай у результаті досліджень отримані такі статистичні дані у_і х_1і х_{2і (}і = 1, п), де у_і - обсяг випуску продукції в і- му періоді (підприємстві), Х_1і — чисельність робочої сили в цьому періоді, Х_2і - основний капітал за цей період. На основі статистичних даних необхідно оцінити параметри виробничої регресії.

Для оцінки параметрів лінії регресії про логарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:

Після цих перетворень отримаємо лінійну модель:

Оцінку параметрів цієї моделі знаходимо за цією ж методологією, що і оцінка параметрів нелінійної регресії у вигляді многочлена.

Під час економетричних досліджень отримано, що для деяких виробництв для параметрів і виконується приблизне рівняння . Цей факт іноді використовується для оцінки параметрів. Якщо скористатися цим рівнянням то регресія Кобба-Дугласа буде мати вигляд:

Після заміни величин отримаємо регресію де параметри а₁ а₀ оцінюються із системи нормальних рівнянь:

Після розв'язання системи нормальних рівнянь отримаємо оцінки параметрів:

(4.34)

Частинні коефіцієнти еластичності виробничої регресії

Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів.

Якщо лінія регресії має вигляд то частинний коефіцієнт еластичності для фактора X, обчислюється за формулою:

(4.35)

Знайдемо частинні коефіцієнти еластичності для виробничої регресії Кобба-Дугласа:

Таким чином, параметр а ₁ є частинним коефіцієнтом еластичності фактора Х₁ виробничої регресії Кобба-Дугласа і показує, що показник Y змінюється на а₁ відсотків, якщо фактор Х₁ змінюється на 1% при незмінних значеннях фактора Х₂. Оскільки коефіцієнт еластичності додатний, то збільшення (зменшення) фактора викликає, відповідно, збільшення (зменшення) показника.

Аналогічним чином знайдемо, що частинний коефіцієнт еластичності для другого фактора дорівнює другому параметру і, відповідно, показує, що зміна фактора Х₂ на 1% викликає зміну показника на а₂ відсотків при незмінних значеннях фактора Х₁.

Сумарний коефіцієнт еластичності

Розглянемо гіпотезу 3 про однорідність виробничої регресії з економічної точки зору. Збільшимо обсяг факторів у будь-яке стале число і прослідкуємо реакцію зміни обсягу випуску продукції на такі зміни факторів.

У даному випадку показник однорідності а дорівнює сумі частинних коефіцієнтів еластичності а₁ + а₂. Цей показник однорідності називають загальним (сумарним) коефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул можна зробити висновки:

1. Якщо сумарний коефіцієнт еластичності а = 1, то при збільшенні факторів виробництва в (стале число більше одиниці) разів, обсяг виробництва збільшиться в стільки ж разів.

2. Якщо значення загального коефіцієнта еластичності більше одиниці, то збільшення факторів виробництва в (стале число більше одиниці) разів викличе збільшення обсягу виробництва в число разів більше за , тобто в , де а₁ + а₂ > 1 • В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва.

3. Якщо значення загального коефіцієнта еластичності менше одиниці, то збільшення факторів виробництва в (стале число більше одиниці) разів викличе зменшення обсягу виробництва в число разів менше за , тобто в де а₁ + а₂ < 1. Тобто в цьому випадку при зростанні обсягу виробництва зростають витрати на одиницю продукції.

Темп приросту показника виробничої регресії для двох факторів

Розглянемо для виробничої регресії темпи приросту. Якщо величини Х₁, Х₂, Y є своєрідними показниками факторів часу, то приріст величин у момент часу t можна охарактеризувати за допомогою частинних похідних по часу:

а темпи приросту, відповідно, дорівнюють:

(4.36)

або . Темп приросту показника виробничої регресії дорівнює зваженій сумі темпів приросту факторів цього показника, де вагою є параметри а₁ і а_2..

Ізокванти

Геометричне виробничу регресію можна зобразити як поверхню в тримірному просторі з координатами Х₁ ,Х₂,У.

Для більш повного уявлення виробничої регресії розглянемо її Ізокванти. В тих виробництвах, де фактори взаємозамінні, одного й того ж результату (обсягу випуску продукції) можна досягти різною комбінацією факторів виробництва (основних засобів і праці).

Для регресії, що розглядається, геометричне місце точок факторів Х₁ ,Х₂ (різні комбінації факторів), для яких показник обсягу виробництва продукції У залишається сталим, називається ізоквантою.

Нехай кінцева мета виробництва — виробити продукцію обсягом Y₀. Припустимо, що для даного виробництва оцінені параметри виробничої регресії. Необхідно знайти комбінацію факторів, при яких буде вироблено продукції у₀, тобто необхідно знайти рівняння ізокванти.

Щоб побудувати ізокванту, необхідно виразити один з факторів виробничої регресії через інший фактор і стале значення показника регресії:

(14.37)

Якщо сталу позначити через b, то отримаємо таку залежність -, в окремому випадку при a₁=a₂ отримаємо гіперболу . Сімейство ізоквант у Х-і у декартовій системі координат Х ₁ О Х ₂ зображено на малюнку.

Рис. 4.2. Лінії ізоквант для різних значень

Згідно з ним при різних значеннях факторів у точках та буде вироблено однаковий обсяг даного ваду продукції, тобто:

Таким чином можна розглянути множинну комбінацію факторів, яким відповідає інший сталий обсяг виробництва продукції. Наприклад на мал.. 15.2 ізокванта, якій відповідає сталий обсяг виробництва продукції

Загальна виробнича регресія

Якщо виробнича регресія залежить від трьох і більше факторів, то в такому випадку вона називається загальною виробничою регресією.

Якщо узагальнити Виробничу регресію Кобба-Дугласа для т факторів, то вона набуде вигляду

(4.38.)

Отримаємо систему нормальних рівнянь для оцінки параметрів наведеної регресії. Після логарифмування виразу регресії і заміни величин:

де Y > 0, X_і> 0 (і = 1,n), отримаємо лінійну регресію:

(4.39)

Якщо detZ^T[Z] дорівнює 0, то після розв'язування системи рівнянь отримаємо оцінку вектора параметрів:

Якщо фактори виробничої регресії Х_і (і = 1, т) назвати ресурсами, то для кожного ресурсу маємо визначити граничну продуктивність випуску продукції по даному ресурсу, частинний коефіцієнт еластичності та інше.

Частинні коефіцієнти еластичності загальної виробничої регресі)

Частинний коефіцієнт еластичності багатофакторної регресії для фактора X, (і = 1, т) знаходиться за формулою

Частинний коефіцієнт для фактора X_і має значення а_і (і=1,т), і він показує, що показник У змінюється на а_і відсотків, якщо фактор X_і змінюється на один відсоток, при незмінних значеннях решти факторів.

Сумарний коефіцієнт еластичності для загальної виробничої регресі)

Для загальної виробничої регресії показник однорідності а дорівнює сумі коефіцієнтів еластичності.

(4.40)

Цей показник однорідності називають сумарним коефіцієнтом еластичності.

Висновки для сумарного коефіцієнта еластичності загальної виробничої регресії співпадають з висновками, отриманими для двофакторної виробничої регресії.

Темп приросту показника виробничої регресія

Враховуючи формули темпу приросту, можемо записати

Для загальної виробничої регресії темп приросту показника дорівнює зваженій сумі темпів приросту факторів цього показника, де вагами є параметри .

Виробнича регресія Кобба-Дугласа-Тінберхена

Поряд зі збільшенням обсягу ресурсів важливим фактором зростання виробництва є науково-технічний прогрес, який проявляється в удосконаленні техніки і технології, підвищенні кваліфікації робітників, покращенню організації виробництва та ін. Технічний прогрес, як правило, відображають у виробничих регресіях залежним від часу Тінберхен запропонував відображати часову тенденцію розвитку технічного прогресу у формі множника де - показник темпу розвитку виробництва, пов'язаного з технічним прогресом.

Таким чином, виробнича регресія Кобба-Дугласа-Тінберхена має вигляд

Темп приросту обсягу виробництва з урахуванням впливу технічного прогресу в залежності від часу визначаєься за формулою:

Гранична продуктивність і граничний продукт

Творець граничної продуктивності Дж.Б.Юіарк (1847-1938) розглядав два фактори виробництва: капітал і працезатрати. В цьому параграфі узагальнюється поняття граничної продуктивності на прикладі виробничої регресії. Отримаємо формули граничної продуктивності праці і капіталу для виробничої регресії Кобба-Дугласа. Введемо нову економічну інтерпретацію параметрів виробничої регресії. Приведемо формули визначення граничного продукту для додаткового вкладення певного числа факторів.

Граничною продуктивністю праці (ГП_П) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни працезатрат на одиницю при незмінних інших факторах, що впливають на обсяг виробництва продукції. Якщо виробничу регресію записати у вигляді:, де У — обсяг випуску продукції, Х₁ - працезатрати, необхідні для випуску цього обсягу продукції, Х₂ — капітал, необхідний для випуску цієї продукції, то гранична продуктивність праці визначається за формулою

З точки зору математики граничну продуктивність праці можна сформулювати як частинну похідну від обсягу випуску продукції по працезатратах і вона характеризує зміну обсягу випуску продукції і зміні працезатрат на одиницю, тоді як інші фактори залишаються незмінними.

Якщо виробничу регресію розглядати у вигляді регресії Кобба-Дугласа, то гранична продуктивність праці запишеться у вигляді

(4.41)

Із цього співвідношення одержимо нову економічну інтерпретацію параметра а₁ виробничої регресії Кобба-Дугласа. Якщо назвати середньою продуктивністю праці, то параметр а₁ є коефіцієнтом пропорційності між граничною і середньою продуктивністю праці (для виробничої регресії Кобба-Дугласа 0 < а₁< 1).

У ринковій економіці вводиться поняття граничного продукту праці. Граничним продуктом праці називається додатковий продукт , отриманий у результаті додаткових затрат праці при незмінних затратах решти факторів виробництва.

Введемо формулу обчислення додаткового продукту , отриманого в результаті відносно малих додаткових порцій вкладення праці:

(4.42)

Для виробничої регресії Кобба-Дугласа ця формула отримає вигляд:

(4.43)

У тих випадках, коли додаткові вкладення працезатрат мають один порядок з працезатратами X₁ обсяг граничного продукту праці визначається за формулою

(4.44)

Граничною продуктивністю капіталу (ГП_к) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни капіталу на одиницю при незмінних значеннях решти факторів виробництва.

Якщо назвати середньою продуктивністю праці, то параметр а₂ є коефіцієнтом пропорційності між граничною і середньою продуктивністю праці (для виробничої регресії Кобба-Дугласа 0 < а₂ < 1).

Граничний продукт, отриманий за рахунок відносно малих додаткових вкладень фактора, визначається приблизно за формулою

(4.45)

Для виробничої регресії Кобба-Дугласа додатковий продукт отриманий за рахунок приросту капіталу при незмінних значеннях працезатрат, визначається за формулою

(4.46)

Граничний продукт, отриманий у результаті додаткових вкладень відносно малими порціями працезатрат і капіталу , визначається за формулою

(4.47)

Для додаткових вкладень, співвідносних з основними вкладеннями, граничний продукт визначається за формулою

Закон спадання граничної продуктивності праці

Розглянемо виробничу регресію Кобба-Дугласа:

(4.48)

Оскільки Х₂ залишається незмінною величиною, то чисельник - постійна величина. Позначимо чисельник через С₂, де параметр а₁є (0,1). Якщо 1 – а₁ позначити через , то маємо

(4.49)

Очевидно, що із зростанням затрат праці при незмінних значеннях капіталу гранична продуктивність праці спадає (при ). Це і є закон спадання граничної продуктивності праці.

Закон спадання граничної продуктивності капіталу Розглянемо цей закон на виробничій регресії Кобба-Дугласа

(4.50)

Оскільки фактор x₁ - const, то чисельник — постійна величина. Позначимо чисельник через С₂.

Оскільки для виробничої регресії (0,1), то . Формула граничної продуктивності капіталу набуде вигляду:

(4.51)

З наведеної формули випливає, що при зростанні капіталу і незмінних працезатратах спадає (при ).. Це і є закон спадання граничної продуктивності капіталу Оскільки Х₂ залишається незмінною величиною, то чисельник - постійна величина. Позначимо чисельник через С₂, де параметр а₁є (0,1). Якщо 1 – а₁ позначити через , то маємо

(4.52)

Очевидно, що із зростанням затрат праці при незмінних значеннях капіталу гранична продуктивність праці спадає (при ). Це і є закон спадання граничної продуктивності праці.

Закон спадання граничної продуктивності капіталу Розглянемо цей закон на виробничій регресії Кобба-Дугласа

(4.53)

Оскільки фактор x₁ - const, то чисельник — постійна величина. Позначимо чисельник через С₂.

Оскільки для виробничої регресії (0,1), то . Формула граничної продуктивності капіталу набуде вигляду:

(4.54)

З наведеної формули випливає, що при зростанні капіталу і незмінних працезатратах спадає (при ).. Це і є закон спадання граничної продуктивності капіталу

Наступний приклад виробничої функції — функція з фіксованими пропорціями чинників, яка має назву виробничої функції Леонтьєва (рис. 18.2): Q = min(aL, bК); а,b>0.

Третій приклад — лінійна виробнича функція з повним заміщенням чинників виробництва (рис. 4.3): Q = aL + bК; a, b> 0.

Для випадку а = b = 1 (рис. 18.3) ; 4.3.Часові ряди. Оцінка параметрів таких моделей.

Дата добавления: 2014-01-11