Энергия и силы в магнитном поле

Граничные условия на поверхности раздела

Как и в электростатике, граничные условия принципиально важны как для формального описания поля, так и для понимания физики явления. В вакууме уравнения

div В = 0 и

rot H = j

решались совместно; эти величины отличались только коэффициентом μ₀. В общем случае они разорваны и их решения связаны соотношением (5.5), в котором величина J не универсальна.

Необходимые граничные условия последуют из самих же основных уравнений. Рассмотрим границу раздела двух сред и построим малый цилиндрик, основания которого площадью dS расположены в средах I и II, а образующая перпендикулярна соприкасающейся плоскости — см. рис. 5.3 а. Поток магнитной индукции

через замкнутую поверхность этого цилиндрика

dS I BdS = 0.

Затем, переходя для высоты к пределу dz —> 0 и считая основание dS достаточно малым, получаем после сокращения на dS

B_1n = B_IIn (5.13)

Рис 5 3

Это условие похоже на (2.13), но, в отличие от (2.14), здесь Уже не может возникнуть никаких поверхностных зарядов — это принципиально невозможно. К тому же, и смысл

уравнения E.13) другой: оно написано для действующего поля в произвольной среде.

Далее, согласно рисунку 5.3 б', окружим поверхность раздела малым плоским контуром, две стороны которого имеют длину d/ и расположены параллельно соприкасающейся плоскости, а две другие ей перпендикулярны и имеют длину dz. Согласно теореме о циркуляции,

Ф Hdl = i-d/, L

где i = dI/dl— линейная плотность поверхностного тока, перпендикулярного плоскости контура. Снова полагаем dz->0 и сокращаем на dl:

H_{I ||} - H_{II ||} =i_|_

индексы «||»; «_|_» определяют ориентацию относительно плоскости контура

на рис. 5.3 б. Повторив ту же операцию для компоненты поля, ориентированной перпендикулярно предыдущей в касательной плоскости, получим

Н_Iτ - Н_IIτ = i (5.14)

при желании это условие можно переписать и в векторной форме:

H _Iτ - H _IIτ = [ in ], (5.15)

где n — вектор нормали к поверхности раздела. Соотношения (5.14), (5.15) подразумевают конечный поверхностный ток в бесконечно тонком слое или, точнее, ненулевую толщину поверхностного слоя, на двух сторонах которого измеряются тангенциальные проекции вектора Н. Иногда, например, на поверхности сверхпроводника, только таким образом удается свести задачу к чистой электродинамике; в остальных случаях (5.15) принимает более простую форму:

Н _Iτ = Н _IIτ. (5.16)

Полезно еще раз обратить внимание на формальное сходство этой фомулы с (2.12), но здесь речь идет не о действующем поле, но лишь о том, которое определяется токами проводимости; кроме того, какие-либо добавки в правой части (2.12) отсутствуют в принципе. Не следует сопоставлять (515)

с (2.12), а (5.13) с (2.14), потому что электрическое и магнитное поля — объекты разной векторной природы.

Прежде всего рассмотрим граничные условия для магнитного поля на поверхности идеального проводника. Пусть поле внутри него равно нулю; в случае сверхпроводника это всегда верно (при переходе в сверхпроводящее состояние происходит выталкивание поля).

Если бы мы исходили из условий (5.13), (5.16), поле на границе проводника в вакууме должно было бы в точности обратиться в нуль. В действительности только условие (5.13) не допускает никакой модификации. Таким образом, нормальная компонента поля в вакууме у поверхности такого проводника равна нулю. К тангенциальной компоненте это не относится; просто из условия (515) следует некоторое распределение токов на поверхности проводника. В вакууме поле подходит к этой поверхности по касательной.

Отсюда, в частности, следует, что и к задачам такого рода применим метод изображений. Но поскольку здесь, в отличие от электростатики, в вакууме В_τ /= 0, В_n = 0, то в плоской поверхности проводника северный полюс магнита зеркально отразится в северный, а южный — в южный. Прямой провод с током отразится в прямой провод, по которому ток будет течь в противоположном направлении, и потому будет отталкиваться от проводящей плоскости. Этот эффект используется для пространственной стабилизации

импульсных сильноточных разрядов. Окружая область разряда коаксиальным хорошо проводящим (или даже сверхпроводящим) экраном, его как бы помещают в потенциальную яму и тем самым фиксируют, с точностью до малых отклонений, его положение в пространстве.

В случае непроводящего магнетика работают граничные условия (5.13), (5.16). Они дают нам, в частности, возможность определить корректным образом поле и индукцию в веществе магнетика посредством мысленного эксперимента или даже непосредственно их измерить, если образец допускает реальный эксперимент такого рода.

Представим себе, что мы вырезали в объеме магнетика малую щель, позволяющую ввести измерительный зонд. Щель должна быть столь мала, чтобы не исказить поле в магнетике, и иметь геометрию тонкого плоского листка, ориентированного перпендикулярно силовым линиям. Тогда внутри щели можно, в свою очередь, пренебречь влиянием краев этого листка, а на плоской поверхности справедливо граничное условие (5.13). Следовательно, индукция В внутри щели должна быть равна таковой в объеме магнетика.

Повторим тот же мысленный эксперимент, но теперь вырежем щель так, чтобы силовые линии лежали в плоскости листка, или, точнее, чтобы плоскость листка совпадала с касательной плоскостью к силовым линиям в данной точке. Тогда, базируясь на граничном условии (5.16), нетрудно заключить: поле, измеренное в тонкой щели, ориентированной таким образом, совпадает с полем внутри магнетика.

Если эти измерения выполняются в реальности, щели и зонды в нужных местах готовятся заранее. Приходится, однако, признать, что так можно работать только с полями достаточно простой геометрии, когда линии В и Н совпадают (либо когда мы умеем их различить — а это, строго говоря, можно сделать, лишь зная заранее В и Н). Для нас более важно скорее другое. Именно в этом мысленном эксперименте мы окончательно уходим от представления о напряженности магнитного поля как поле свободных токов.

Теперь два вектора В и Н выступают как параметры состояния вещества в магнитном поле. На таком понимании строится термодинамика магнетиков, нам же оно понадобится в следующей главе при обсуждении проблемы энергии поля.

ГЛАВА 7

Дата добавления: 2014-01-11