Энергия магнитного поля

Понятие энергии магнитного поля можно ввести, следуя программе, изложенной в гл. 2: оперируя экспериментальной информацией о свойствах магнитного поля, предложить такой мысленный эксперимент, в котором появился бы интеграл движения, включающий аддитивно механическую энергию и в отсутствие магнитного поля к ней сводящийся. Тогда добавка, обусловленная магнитным полем, и должна трактоваться как магнитная

энергия.

Невозможно, однако, предложить один мысленный эксперимент на все случаи жизни. Поэтому новое понятие неизбежно проверяется снова и снова по мере накопления экспериментального материала, иногда дополняется или модифицируется. В конечном счете все принципиальные моменты в физике оказываются — пусть даже косвенно — экспериментального происхождения.

В данном случае особенно деликатным оказывается вопрос о магнитном поле в

веществе, поскольку не всегда просто разделить энергию поля, энергию вещества

и энергию взаимодействия поля с веществом.

Хотя мы уже обсуждали подобного рода вопросы в гл. 2, это краткое введение представляется все же не лишним.

Рus. 7.2

А теперь поставим первый мысленный эксперимент. Обратимся к рис. 7.2 а. Представим

себе тонкий бесконечно длинный идеально проводящий цилиндр (его обычно называют лайнером), по которому течет однородный азимутальный ток с постоянной линейной плотностью. Внутри цилиндр пуст; никаких источников энергии либо каналов диссипации в задаче нет. Представим далее, что мы сжимаем лайнер, прикладывая извне давление V. При сжатии от начального радиуса R на dR совершается следующая работа на единицу

длины:

δA = P2πRdR

Пусть смещение происходит очень медленно, практически без ускорения, и пусть мы можем пренебречь всеми механическими напряжениями в веществе лайнера. Заметим, что ввиду высокой степени симметрии, магнитное поле вне лайнера — точный нуль, а внутри него оно совершенно однородно и силовые линии параллельны оси. В этой ситуации совершенно неважно, как именно распределен ток по глубине оболочки — все равно имеет место механическое равновесие:

P = (ВН)/2.

Последующие вычисления будут базироваться на законе Фарадея в его самой простой формулировке: магнитный поток через любой идеально проводящий контур — инвариант. В нашей постановке задачи это значит, что инвариантным является произведение поля на площадь поперечного сечения лайнера, т. е. B, Н ~ R^~2. Тем самым P~ R^~4, и мы можем через механическую работу определить энергию поля внутри лайнера. Удобно сопоставить работу против сил магнитного давления при сжатии лайнера от бесконечного до текущего радиуса с энергией поля на единицу длины лайнера:

*- = f -B(r)H(r)-2irrdr = d/ R = ttB(R)H(R) Г (-) dr2 = nR2 •)-B(R)H(R). R

Мы получили энергию в форме, уже привычной нам из электростатики.

Исходя из этого модельного результата, можно предложить следующее выражение для плотности магнитной энергии:

W = (BH)/2. (7.11)

которое и подтверждается всем опытом современной электродинамики. Мы получили его сразу в наиболее универсальном виде, который можно будет переносить непосредственно на поле в веществе. В самом деле, мысленный эксперимент станет еще более фантастичным, но не менее корректным, если мы заполним лайнер некоторой идеально сжимаемой магнитоактивной средой, а в результате получится то же выражение (7.11) для плотности энергии магнитного поля — но теперь уже

В /= μ₀ H.

В качестве следующего объекта для рассуждений возьмем изображенный на рис. 7.2 бесконечно длинный идеально проводящий соленоид с плотной намоткой (число витков на единицу длины

n = N/l >> R^-1,

где R — радиус соленоида, l — его длина). По обмотке соленоида течет ток I, при этом

Н = nI, внутри соленоид заполнен сердечником из однородного магнетика.

Считается, что зависимость В(Н) известна; она, в частности, может быть и линейной

В = μ₀μН,

что несколько упрощает конечные формулы.

Энергия магнитного поля на единицу длины соленоида

dWM ВН

f

где Ф₀ — поток магнитной индукции через отдельный виток; рассматривая соленоид как целое, учтем, что полный магнитный поток через его обмотку есть NФ₀, а полная энергия катушки (контура) с током может быть представлена в виде

W = IФ/2. ф

w = -2~- (7.12)

Мы снова отдали предпочтение универсальной форме записи, наименее чувствительной к деталям постановки задачи. Но для очень широкого класса контуров без сердечника или с магнитомягким сердечником формулу (7.12) можно заменить более конкретной, предполагающей линейную зависимость В(Н):

Ф = Ы; W = —, где L = n^ii(nRJl = тт/ло/л {—^. (7.13)

Коэффициент L — не что иное, как индуктивность соленоида. Она зависит, как нам уже известно, только от геометрии контура и магнитной проницаемости вещества сердечника (если таковой имеется).

Проведенное выше вычисление энергии катушки с током и введенное понятие индуктивности требуют одной важной оговорки. Мы уже отметили в связи с выводом формулы (4.13), что поле вне бесконечного соленоида — отнюдь не нуль, а с хорошей точностью — поле прямого тока H_вн = I/(2πr).

Сравним энергию поля в соленоиде, например, (7.13), с энергией внешнего поля. Мы немедленно сталкиваемся с парадоксом: хотя Н_ви << nI, что обеспечено неравенством n>> R^-1, энергия внешнего поля оказывается формально бесконечной (интеграл

∫ Н_Bн²2πr dr

расходится логарифмически). В зависимости от геометрии системы, возможны два выхода из этой ситуации.

1. Пусть вся электрическая цепь достаточно симметрична. На рис. 7.3 представлен модельный пример полной аксиальной симметрии. Соленоид радиуса R включен последовательно с источником; цепь замкнута внешним цилиндрическим токопроводом радиуса R_BH, соосным с соленоидом. В этом случае справедливость результатов (7.12), (7.13) можно обеспечить следующим сильным неравенством:

ВН • nR2 > fji0 Г Я^н2тгг dr. R

Подставляя H(I), H_вн(I) и опуская, ввиду сильного неравенства, коэффициенты порядка единицы, получим

/j(nRJ > In —^.

К

(Читатель может проверить этот результат в качестве упражнения.)

2. Если, напротив, электрическая цепь совершенно не симметрична, то на больших расстояниях поле ее будет зависеть от координат примерно как поле диполя H_вн ~ r^~3, так что на самом деле интеграл энергии сходится при учете реальной трехмерности задачи.

Рus.7.3

Но характерный пространственный масштаб спадания поля в общем случае не определен, так что для уверенности в правильности формулы (713) его следует приравнять максимально возможному — длине соленоида /. Отсюда

следует оценка

ц(пК) ^> I —

т. е. в обоих случаях условие на плотность намотки оказывается несколько

более жестким, чем предполагалось вначале.

Такого рода соотношения приходится постоянно держать в поле зрения при работе с сильноточными системами. Мы хотим в данном случае обратить внимание на ограниченную применимость хрестоматийных формул (7.13), но это никоим образом не ставит под сомнение общий результат (711), да и формула (7.12) при правильном вычислении потока Ф через полный контур (а не только соленоид) остается в силе.

Дадим формальный вывод выражения для плотности энергии (7.11), базирующийся на аксиоматическом представлении о потенциальной энергии произвольной токовой конфигурации. Известному представлению энергии электрического поля

= 2 / WE = - I p(r)<p(r)dV v

поставим в соответствие в качестве энергии магнитного поля следующее вы-

ражение:

WM = ±J&A*)dV = iy (A#,rotH) dV, (7.14)

v v

где интегралы берутся по объему всех входящих в систему проводников. Мы распространим интегрирование на все пространство; это не меняет результата, потому что вне проводников j = 0. При этом потенциальная функция А* должна порождать, в отличие от вектор-потенциала (4.15), действующее поле в веществе В = < b >, так что, в соответствии с выводом макроскопических уравнений поля в 5.1,

(7.15)

Для дальнейших выкладок нам понадобится следующая цепочка преобразований:

div[ H, A* ] = ▼[ H, A *] + ▼[ H, А *] = А * • rot H - Н • rot A *,

с учетом которых G.14) можно переписать в виде

W_м = 1/2∫ (A *,rot H)dF = 1/2∫ div[ H,A *]dF + 1/2∫ H rot A *dV

Но теперь мы можем первый из интегралов в правой части преобразовать с помощью теоремы Гаусса в поток вектора [ Н, А *] через бесконечно удаленную поверхность. Поскольку магнитное поле должно убывать как ди-

польное или быстрее, на бесконечности Н ~r^~3, А* ~ r^~2, S ~ r², так что

этот интеграл равен нулю. Таким образом,

W_м = 1/2∫ H rot A *dV = ∫((HB)/2)dV

rotA* dV = I {^- dV, (7.16)

что эквивалентно выражению (7.11). Тем самым мы фактически продемонстрировали, что энергия магнитного поля может быть, помимо прочего, представлена в виде (7.14), (7.15). Убедившись таким образом в правильности (7.14), попробуем дать вывод соотношений (7.12), (7.13), базирующийся уже не на отдельном частном примере, а на общем законе. Для простоты ограничимся случаем контура без сердечника; обобщения принципиальной трудности не составят, но потребуют более громоздких вычислений.

В «вакуумном» случае А * = μ₀ A. Как и при выводе базовых выражений для индуктивных коэффициентов (6.3), (6.4), будем считать контур тонким. Тогда в интегралах (7.14), (7.15) j dV => Id l, что позволяет переписать их в виде

Далее ответ зависит от того, что мы понимаем под штрихованными величинами в (7.17). Если имеется в виду всего один контур, то мы получаем просто формулу (7.13), где коэффициент самоиндукции задается выражением (6.4), а если контуров два, то нам придется составить все комбинации, проистекающие от суммирования во всем пространстве j и j `, А и А `:

W = 1/2 (L₁I₁² + L₂I₂² + 2L_l2I₁I₂) (7.18)

(мы учли, что L₁₂ = L₂₁). В случае многих контуров, вводя обозначение

L_ii = L_i, можем привести (7.18) к универсальному виду:

^^LikIiIk. (7.19)

г, к

Электрич и магнетизм из Матвеева стр 36

Рис 9

Рис 10

1.1 Основные понятия и законы

1.1.1. закон Кулона

,

Где F – сила взаимодействия точечных зарядов q и q,

r – расстояние между зарядами, e₀ – электрическая постоянная.

1.1.2. Напряженность электрического поля в точке

=,

Где F – сила, действующая на пробный заряд q _, помещенный в эту точку.

1.1.3. Напряженность и потенциал поля точечного заряда q

=, = ,

где - радиус-вектор, проведенный из заряда в точку поля.

1.1.4. Принцип суперпозиции электрических полей

= , = ,

где , -напряженность и потенциал в данной точке поля, созданного i – ым зарядом.

1.1.5. Плотность заряда

линейная , где dq – заряд на длине dl;

поверхностная = , где dq – заряд на поверхности ds;

объемная r = , где dq – заряд в объеме dV.

1.1.6. Связь напряженности и потенциала

= - grad

или = -

1.1.7. Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность S пропорционален алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью

= ,

Где - электрическая постоянная.

1.1.8. Работа сил поля по перемещению заряда из точки поля с потенциалом в точку

с потенциалом

А = q(

2.1. Основные понятия и формулы

2.1.1. В проводнике, находящемся в постоянном электрическом поле, выполняются условия

= 0; = const

2.1.2. Вектор напряженности поля вне проводника перпендикулярен его поверхности и равен

2.1.3. Теорема Гаусса для диэлектриков

Поток вектора смещения через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью

= _своб

2.1.4. Вектор электрического смещения

= ,

где - вектор поляризации

2.1.5. Для изотропных диэлектриков

D =, где æ_e –

- относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, а æ_e – его диэлектрическая восприимчивость.

2.1.6. Поверхностная плотность связанных зарядов диэлектрика равна нормальной составляющей вектора поляризации.

Пример 1.2.1. Найти напряженность E и потенциал электрического поля в центре равностороннего треугольника со стороной a = 10 см, в вершинах которого находятся заряды q= 1,5 нКл, q = - 1,5 нКл и q = -2,0 нКл

Решение. Необходимо найти характеристики электрического поля, созданного отдельными точечными зарядами, величина и расположение которых заданы. Зависимости (r) и (r) для точечных зарядов известны, при этом можно воспользоваться принципом суперпозиции.

В центре треугольника – точке О = ; ; ; ; ; ; Где r – модуль радиусов-векторов, проведенных от зарядов , и в точку О. Легко видеть, что угол , а .

Поскольку =, то и = 2=, а

Введем систему координат, как показано на рис. 1. Вычисляя E через проекции на оси координат, получим

= == 8,9 кВ/м

Для потенциала в точке О

- 0,31 кВ

Направление вектора можно определить, вычислив тангенс угла между вектором и осью Х

0,77 =

Задача 1.2.2. В вакууме имеется скопление зарядов в форме шара радиусом R. Объемная плотность зарядов постоянна и равна . Найти зависимость напряженности поля E от расстояния r от центра шара, т. е. E = E(r), и построить соответствующий график.

Решение. Сферическая симметрия в распределении заряда позволяет воспользоваться теоремой Гаусса (1) Чтобы найти напряженность в некоторой точке А внутри шара (r, в качестве вспомогательной поверхности выберем сферу ,

проходящую через эту точку. Тогда поток вектора напряженности через поверхность

= ,- - -(2)

поскольку во всех точках этой поверхности напряженность поля постоянна по величине и направлена вдоль радиуса. Аналогичный результат получается и для потока вектора напряженности через сферу , когда точка B находится снаружи шара.

Сумма зарядов зависит от радиуса вспомогательной поверхности. При имеем

- - - (3)

Решая совместно (1), (2) и (3), получим

- - - (4)

При

и - - - (5)

Естественно, что при r = R обе формулы дают одинаковый результат. Графическая зависимость E = E(r) приведена на рис. 3.

Задача 2.2.1. У поверхности фарфора напряженность поля в воздухе равна кВ/м и силовые линии образуют с нормалью к поверхности угол . Определить:

a) угол между направлением поля и нормалью в фарфоре, для которого ;

b) напряженность электрического поля в фарфоре;

c) плотность связанных зарядов на границе фарфор – воздух.

Решение Пусть граница раздела диэлектрика 1 (фарфор) и диэлектрика 2 (воздух) горизонтальна. В соответствии с законом преломления силовых линий на границе раздела двух диэлектриков (см. рис. 4) - - - (1) Отсюда 5,0; Кроме того условия на границе раздела фарфора и воздуха дают

или ,

где и - тангенциальные составляющие поля в диэлектриках. Тогда

13 кВ/м - - - (2)

Плотность связанных зарядов на границе фарфор – воздух ,

Где - нормальная составляющая вектора поляризации в фарфоре.

Для такого изотропного диэлектрика, как фарфор

или окончательно

0,11 мкКл/м²

Пример. Определить разность потенциалов между двумя металлическими шарами радиусом 0,50 см каждый, находящимися на расстоянии R = 1,00 м друг от друга, если заряд одного шара = 1,50 нКл, а другого – -1,50 нКл

Решение Взаимно притягиваясь, заряды шаров неравномерно распределяются по их поверхности. Меняется электрическое поле вокруг шаров, поэтому точное решение задачи связано со значительными математическими трудностями

Поскольку по условию задачи , можно считать распределение зарядов по поверхности шаров равномерным и применить для нахождения разности потенциалов принцип суперпозиции.

Выберем в качестве линии интегрирования прямую АВ. Векторы напряженности обоих шаров направлены от А к В.. Тогда результирующая напряженность в некоторой точке С, отстоящей на расстоянии r от центра левого шара, равна

где q = - абсолютное значение заряда каждого шара.

Далее

Выполнив интегрирование и сделав упрощения, получим

- - - (1)

Еще раз учтем, что R», тогда

5,4 кВ - - - (2)

Второй результат менее точен так, как не учитывает, что потенциал каждого шара определяется совокупностью зарядов обоих шаров.

Дата добавления: 2014-01-11