Обобщенный закон Гука

Рассмотрим определение относительных линейных деформаций и при плоском напряженном состоянии, см. рисунок 33,а. Для этого используем ранее рассмотренный закон

σ₁ σ₁

ε₁ ε₁₁ ε₁₂

σ₂ σ₂ σ₂ σ₂

ε₂

σ₁ σ₁ ε₂₁ ε₂₂

а) б) с)

Рисунок 33. Схемы для пояснения обобщенного закона Гука

Гука для одноосного нагружения стержня , зависимость между поперечной и продольной деформациями – коэффициент Пуассона (см. лекцию 7), а также принцип независимости действия сил (принцип сложения деформаций).

От действия одного вертикального (первого главного) напряжения одновременно возникают деформации элементарного фрагмента тела в двух взаимно перпендикулярных направлениях (см. рисунок 33,б):

- относительное вертикальное удлинение ,

- относительное горизонтальное сужение .

От действия одного горизонтального (второго главного) напряжения одновременно возникают деформации элементарного фрагмента тела также в двух взаимно перпендикулярных направлениях (см. рисунок 33,в):

- относительное горизонтальное удлинение ,

- относительное вертикальное сужение .

Суммируя деформации и , получим формулы обобщенного закона Гука для двухосного (плоского) напряженного состояния:

; . (41)

Если известны линейные деформации и , то из последних формул можно получить формулы для определения напряжений:

; . (42)

Аналогично можно получить формулы обобщенного закона Гука для трехосного (объемного) напряженного состояния:

; ; , (43)

где линейные деформации , и в направлениях соответствующих главных напряжений , и называются главными деформациями.

Вышеприведенные формулы обобщенного закона Гука выражают зависимости не только между главными деформациями и главными напряжениями, но и между любыми значениями этих величин. Они остаются справедливыми также и на тех элементарных площадках напряженно-деформированного тела, где действуют касательные напряжения.

Контрольные вопросы:

1) Чем отличаются между собой нормальные σ и касательные τ напряжения?

2) Что такое главные площадки и главные напряжения?

3) В каких сечениях одноосно нагруженного стержня действуют максимальные (экстремальные) касательные напряжения? А при двухосном напряженном состоянии?

4) Поясните закон парности (взаимности) касательных напряжений.

5) Чему равна сумма нормальных напряжений, действующих в двух взаимно перпендикулярных сечениях (площадках) при одноосном напряженном состоянии? Какова эта сумма при двухосном напряженном состоянии?

6) Объясните общепринятую систему обозначений напряжений при сложных напряженных состояниях. Как обозначаются главные напряжения и каково общее соотношение между их значениями?

7) Как определяются положение главных площадок и значения главных напряжений при двухосном напряженном состоянии? Поясните соответствующие формулы.

8) Поясните правило знаков для нормальных и касательных напряжений.

9) Что такое тензор напряжений и как он записывается для двухосного и трехосного напряженных состояний деформированного тела?

10) Запишите формулы обобщенного закона Гука для двухосного и трехосного напряженных состояний деформированного тела. Объясните все параметры, входящие в них.

ГЛОССАРИЙ

	Касательные напряжения	Tangents of a pressure
	Главные площадки	The main platforms
	Главные напряжения	The main pressure
	Внешняя нормаль	An external normal
	Плоское напряженное состояние тела	The flat intense condition of a body
	Объемное напряженное состояние тела	The volumetric intense condition of a body
	Закон парности касательных напряжений	The law of paired relationship of tangents of pressure
	Тензор напряжений	Tenzor pressure
	Обобщенный закон Гука	Generalized law Guck

Рекомендуемая литература

1. Александров А.В. и др. Сопротивление материалов. Учебник для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – 560 с. (с. 54…56; 341…359).

2. Степин П.А. Сопротивление материалов. – М.: Высш. школа, 1983. – 303 с. (с. 46…54).

3. Справочник по сопротивлению материалов/Писаренко Г.С. и др. – Киев: Наукова думка, 1988. – 737с. (с. 153…163).

Контрольные задания для СРС.

1) Двухосное (плоское) напряженное состояние (см. п. 6.12).

2) Понятие о трехосном (объемном) напряженном состоянии (см. п. 6.13).

3) Обобщенный закон Гука (см. п. 6.14).

4) Расширить подготовку по материалам учебной литературы ([1], с. 54-56; 341-359; [2], с. 46…54; [3], с. 153…163).

Лекция 10. Тема 7. «Геометрические характеристики поперечных сечений элементов конструкций»

Цель лекции – рассмотреть основные характеристики поперечных сечений элементов конструкций типа стержней, важные для практики инженерных расчетов, дать основные направления углубленного их изучения.

План лекции (курсивом – материалы для СРС)

1. Площади поперечных сечений элементов конструкций.

2. Статические моменты площади. Определение центра тяжести площади плоского сечения тела. Пример расчета положения центра тяжести площади.

3. Моменты инерции площадей поперечных сечений элементов конструкций.

4. Главные оси инерции и главные моменты инерции площадей фигур.

5. Радиусы инерции площадей поперечных сечений элементов конструкций.

Дата добавления: 2014-01-11