Тема: Сложная процентная ставка

Сложная процентная ставка наращения – это ставка, при кот база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Т.е., например: положили сумму P. Через 1 период наращения мы получим P*1+i. Через месяц получим (P(1+i))(1+i), то есть S = P(1+i)²

S = P(1+i)ⁿ (1.13)

Р – первоначальный размер долга, n – число периодов наращения, S – наращённая сумма, i – сложная ставка наращения, (1+i)ⁿ – множитель наращения.

Формулу (1.13) также use в случае, когда срок для начисления процентов явл дробным числом.

Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов use не год, а например месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются m раз в год. В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, кот в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения явл частным случаем номинальной ставки при начислении процентов 1 раз в году. Если номинальную ставку обозначим через j, то проценты за 1 период будут начисляться по ставке j/m, а количество начислений будет равно mn, тогда наращённая сумма при use номинальной ставки S=P(1+j/m)^nm (1.14)

Задача: какой величины достигнет долг в 15 тыс руб через 5.7 года при росте по сложной процентной ставке в 16.5 % годовых при начислении процентов раз в год и помесячно и поквартально?

1) Use (1.13) для расчёта раз в год (тогда m=1)

S = 15(1+0.165)^5.7 = 35.82 тыс руб.

2) Помесячно, тогда m=12

S = 15(1+0.165/12)^12*5.7 = 38.17

3) Ежеквартально, то есть 4 раза в год, значит m=4

S = 15(1+0.165/4)^4*5.7 = 37.70

Определение дисконтирования по сложной процентной ставке аналогично дисконтированию по простой процентной ставке.

Use (1.13) и (1.14):

P=S/(1+i)ⁿ

P = S/(1+j/m)^nm (1.15)

(1+i)ⁿ – множитель дисконтирования при начислении 1 раз в год

(1+i)^nm – множитель дисконтирования при начислении несколько раз в год

D = S-P - Дисконт суммы S

При сложной учётной ставке каждый раз учётная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме уже дисконтированной на предыдущем шаге времени, поэтому сумма, выдаваемая банком при учёте векселя, будет рассчитываться как:

P = S(1-d)ⁿ

Или

P = S(1-d/m)^nm (1.16)

d – сложная учётная ставка

Задача: Вексель на сумму 20 тыс руб, срок платежа по кот наступает через 1,8 года, учтён по сложной процентной ставке в 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учёте и дисконт при ежегодном и ежемесячном дисконтировании.

Ежегодно:

P = 20(1-0.18)^1.8 = 13.99

D = 20-13.99 = 6.01

Ежемесячно:

P = 20(1-0.18/12)^12*0.8 = 14,43

D = 20-14.43 = 5.57

Ежемесячно получается выгодней.

Если в формуле (1.14) периоды начисления процентов постоянно уменьшать, то кол-во этих периодов будет увеличиваться. В пределе при стремлении длительности периодов к нулю их число будет стремиться к бесконечности. Такое начисление процентов называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении процентов называется силой роста. Чаще всего применяется при анализе цб.

Сила роста называется постоянной, если она не изменяется во времени. Если сила роста будет изменяться во времени, тогда будет называться переменной.

S = Lim_mà8 P(1+j/m)^nm (в пределе вместо n должна быть m)

(в пределе вместо n должна быть m)

При непрерывном наращении начисления процентов заменяем нашу процентную ставку на силу роста d (сигма).

S = Pe^dn (1.17)

(1+i)ⁿ = e^dn

(1+j/m)^mn = e^dn

d = Ln(1+i) (1.18)

Или

i = e^d – 1 (1.18)

d = m*Ln(1+j/m)

Извлекаем корень mn:

(1+j/m) = e^d/m (1.19)

j = m(e^dm)-1) (1.19)

Задача: на сумму 15 тыс руб начисляются % по сложной годовой ставке, равной 22% в течение 3,5 лет. Определить силу роста и наращённую сумму при дискретном и непрерывном начислении.

d = ln(1+0.22) = 0.199

При непрерывном:

S = 15*e^(Ln1.22)*3.5 = 1.5*1.22^3.5 = 30.085

При дискретном:

S = 15(1+0.22)^3.5 = 30.085

Ответ: суммы наращенные будут совпадать при дискретном и непрерывном наращении (т.к. не стремится к бесконечности).

Формулы для определении срока ссуды и величины процентной ставки при начислении по сложным процентам можно получить, use формулы (1.12), (1.13), (1.14).

S = P(1+i)ⁿ

Делим обе части на 2 и логарифмируем:

Ln(S/P) = n*Ln(1+i)

n = Ln(S/P)/Ln(1+i) (1.20)

S = P(1+j/m)^mn

Ln(S/P) = nm*Ln(1+j/m)

n = Ln(S/P)/m*Ln(1+j/m) (1.21)

Обе части делю на Р и извлекаю корень nm:

= 1+j/m

j = m*((S/p)^1/nm)-1 (1.22)

= 1+i

i = (S/P)^1/n (1.23)

Задача: за какой срок сумма, равная 25 тыс достигнет 40 тыс. при начислении по сложной процентной ставке 18% годовых. Рассмотреть случае по месячному начислении % и раз в году.

По годовому:

n = Ln(40/25)/Ln(1+0.18) = 2.84 года

По месячному:

n = Ln(40/25)/12*Ln(1+0.18/12) = 2.63 года

Ответ: при начислении раз в год сумма накопления будет больше.

Задача: финансовый инструмент куплен за 25 тыс руб, его выкупная цена через 1,8 года составит 35 тыс руб. Проценты начисляются 1 раз в месяц. Определить доходность операции в виде номинальной ставки и годовой ставки сложных процентов.

Use (1.22) и (1.23):

Номинальная ставка:

j = 12*((35/25)^1/12*1.8-1) = 0.1884 = 18.84%

Годовая ставка:

i = (35/25^1/1.8-1) = 0.2055 = 20.55%

Дата добавления: 2014-01-11