Класифікація нерухомих точок

Випадок 1. – як правило називається стійким вузлом. Локальний потік загасає в обох напрямках до нерухомої точки, обумовлених власними векторами та (рис. 3(а)).

Випадок 2. – нестійкий вузол. Локальний потік експоненціально росте в обох напрямках від нерухомої точки (рис. 3 (б)).

Випадок 3. – гіперболічна точка (або “сідлова” точка). Експонентний ріст в одному напрямку та експонентне загасання в іншому (рис.3. (в)). Часто вхідний і вихідний напрямки називають стійким і нестійким многовидом (сепаратриси) відповідно.

Рис. 3. Локальні фазові потоки для (а) стійкого вузла, (б) нестійкого вузла й (в) гіперболічної

Випадок 4. – стійкий фокус. Оскільки дійсна частина від’ємна ( і , будучи коренями квадратного рівняння, утворюють комплексно-спряжену пару), потік закручується в спіраль у напрямку до нерухомої точки (рис. 4,а).

Випадок 5. – нестійкий фокус. У цьому випадку дійсна частина додатна, і спіраль розкручується в напрямку від нерухомої точки (рис. 4б).

Випадок 6. – еліптична точка (або “центр”) відповідає обертанню локального потоку навколо нерухомої точки. Цей тип стійких точок рівноваги обговорювався вище в деяких прикладах (рис. 4.в).

У випадках фокусів 4, 5 та еліптичної точки 6 виникає питання, чи спрямований фазовий потік за годинниковою стрілкою або проти. Відповідь можна знайти за допомогою лінеаризованих рівнянь (4), поклавши : якщо , то локальний рух відбувається за годинниковою стрілкою, тоді як у випадку рух відбувається проти годинникової стрілки.

Рис. 4. Локальні фазові потоки для (а) стійкого фокуса, (б) нестійкого фокуса й (в) еліптичної точки

Дотепер розглядалися випадки не вироджених коренів та . Якщо корінь вироджений, то загальний розв’язок

має вигляд

(7)

У цьому випадку тип нерухомих точок буде, мабуть, залежати від знака й типу власних векторів та .

Випадок 7. Якщо (тобто нульовий вектор, при цьому - довільний), то нерухома точка утворює

(а) стійку зірку при (рис. 5. а),

(б) нестійку зірку при (рис. 5. б).

Випадок 8. Якщо не нульовий вектор, то лінії фазового потоку будуть скривлені, утворюючи

(а) стійкий невласний вузол при (рис. 5. в),

(б) нестійкий невласний вузол при (рис. 5.г).

Рис. 5. Локальні фазові потоки для (а) стійкої зірки, (б) нестійкої зірки, (в) стійкого невласного вузла та (г) нестійкого невласного вузла

Дата добавления: 2014-01-11