Точки экстремума функции

Определение 19.4. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = =f(x), если f(x) ≤ f(x₀) (f(x) ≥ f(x₀)) для всех х из некоторой δ-окрестности точки х₀.

Определение 19.5. Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.

Примеры.

1. y=x ² имеет минимум при х =0.
2. y=-|x- 3 | имеет максимум при х =3.
3. у= sin x имеет минимумы при и максимумы при .

Теорема 19.1 (теорема Ферма). Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х₀ производную, то f′(x₀)= 0.

Доказательство.Пусть f(x₀) – наибольшее значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀). Тогда, если x < x₀, а если x > x₀,

Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что f′(x₀) ≥ 0, а из второго – что f′(x₀) ≤ 0. Следовательно, f′(x₀) = 0.

Замечание. В теореме Ферма важно, что х₀ – внутренняя точка для данного промежутка. Например, функция y = x, рассматриваемая на отрезке [0;1], принимает наибольшее и наименьшее значения соответственно при х = 1 и х = 0, но ее производная в этих точках в ноль не обращается.

Теорема 19.2 (теорема Ролля). Если функция y = f(x)

1) непрерывна на отрезке [ ab ];

2) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;

3) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть f(a) = f(b),

то внутри интервала (ab) существует по крайней мере одна точка х = с, a < c < b, такая, что f′(c) = 0.

Доказательство.

Пусть M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на [ ab ]. Тогда, если m = M, то f(x) = m = M – постоянная функция, и f′(x)=0 для любой точки отрезка [ ab ]. Если же m<M, то по теореме 16.2 хотя бы одно из значений m или M достигается во внутренней точке с отрезка [ ab ] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма f′(c) = 0.

Замечание 1. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий. Приведем примеры функций, для каждой из которых не выполняется только одно из условий теоремы, и в результате не существует такой точки, в которой производная функции равна нулю.

у у у

0 1 х 0 х -1 0 1 х

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Действительно, у функции, график которой изображен на рис. 1, f(0)=f( 1 )=0, но х =1 – точка разрыва, то есть не выполнено первое условие теоремы Ролля. Функция, график которой представлен на рис.2, не дифференцируема при х = 0, а для третьей функции f(- 1 )≠f( 1 ).

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.

Лекция 20.

Дата добавления: 2014-01-11