Теоремы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей

Теорема 20.1 (теорема Лагранжа). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [ ab ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [ ab ] найдется хотя бы одна точка c, a < c < b, что

f(b) - f(a) = f′(c) (b – a) (20.1)

Доказательство.

Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) - f(a) - (x - a)Q. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [ ab ], дифференцируема на (ab) и F(a)=F(b)=0. Следовательно, на интервале (ab) есть точка с, в которой F′(c)=0. Но F′(x)=f′(x) – Q, то есть F′(c) = f′(c) – Q. Подставив в это равенство значение Q, получим

откуда непосредственно следует утверждение теоремы.

Замечание. Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции y = f(x) найдется точка, касательная в которой параллельна отрезку, соединяющему точки графика с абсциссами а и b.

Теорема 20.2 (теорема Коши). Если f(x) и g(x) – функции, непрерывные на [ ab ] и дифференцируемые на (ab), и g′(x)≠ 0 на (ab), то на (ab) найдется такая точка x=c, a<c<b, что .

Доказательство.

Обозначим . При этом g(b)-g(a)≠ 0, иначе по теореме Ролля нашлась бы точка внутри отрезка [ ab ], в которой g′(x) =0, что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – f(a) – Q(g(x) – g(a)), для которой выполнены все условия теоремы Ролля (в частности, F(a)=F(b)=0). Следовательно, внутри отрезка [ ab ] существует точка х=с, в которой F′(c) =0. Но F′(x)=f′(x) - Qg′(x), поэтому f′(c) - Qg′(c)= 0, откуда . Подставляя в это равенство значение Q, получаем доказательство утверждения теоремы.

Дата добавления: 2014-01-11