Группа, подгруппа

Полугруппа с единицей, для каждого элемента которой существует обратный элемент, называется группой. Другими словами, алгебра с одной бинарной операцией называется группой, если

1) Операция ассоциативна, т.е. (a * b)* c = a *(b * c)

2) Существует нейтральный элемент e ae = ea = a

3) Для каждого элемента группы a существует обратный элемент a ^-1, что a ^-1 a = aa ^-1 = e.

Если операция коммутативна, то есть ab = ba, то группа называется абелевой или коммутативной.

Примером абелевой группы служит множество целых чисел относительно операции сложения.

Примером не абелевой группы служит группа перестановок S_n n -го порядка относительно операции суперпозиции (умножения перестановок)

В абелевой группе операция обозначается +, нейтральный элемент 0, и обратный к a обозначается – a.

Свойство 2.4 .

Доказательство .

Подмножество H группы G называется подгруппой, если H является группой относительно операции в G (см. определение подалгебры).

Свойство 2.5. Для того чтобы H являлась подгруппой G необходимо и достаточно, чтобы a*b и a^{- 1} принадлежали H для любых элементов a и b из H.

Доказательство очевидно.

Свойство 2.6. Для того чтобы конечное множество H являлось подгруппой G необходимо и достаточно, чтобы ab принадлежало H для любых элементов a и b из H.

Доказательство. Необходимость очевидна. Покажем достаточность. Для a из H рассмотрим последовательность . Поскольку все элементы этой последовательности принадлежат конечному множеству H, то в этой последовательности есть повторяющиеся элементы. Пусть , где j < k. Тогда и, значит, выполнены условия предыдущего свойства. Таким образом, H – подгруппа.

Дата добавления: 2014-01-11