Нормальный делитель, факторгруппа

Подгруппа H группы G называется нормальным делителем, если для каждого элемента g группы G его левый и правый смежные классы по подгруппе H равны, т.е. gH = Hg.

Теорема 2.5. Подгруппа H группы G является нормальным делителем тогда и только тогда, когда содержится в H при любых g из G и h из H.

Доказательство очевидно.

Пусть H – нормальный делитель группы G. На множестве смежных классов введем операцию умножения, индуцируемую групповой операцией. Под произведением смежных классов aH и bH будем понимать множество всевозможных произведений элементов из aH на элементы bH. Поскольку H – нормальный делитель, то все эти произведения содержатся в смежном классе (ab) H. Таким образом, на множестве смежных классов введена операция. Эта операция ассоциативна (aHbH) cH = aH (bHcH), существует нейтральный элемент H, и для каждого элемента aH существует обратный a^-1H. Следовательно, множество смежных классов, относительно введенной операции, образуют группу, которая называется факторгруппой.

Дата добавления: 2014-01-11