Гомоморфизм групп

Однозначное отображение группы G в группу H, сохраняющее операцию, называется гомоморфизмом группы G в H.

Изоморфизм является частным случаем гомоморфизма.

Свойство 2.9. При гомоморфизме нейтральный элемент группы G отображается в нейтральный элемент группы H.

Доказательство вытекает из равенства .

Множество элементов группы G, отображающихся в нейтральный элемент, называют ядром гомоморфизма и обозначают .

Свойство 2.10.

Доказательство. Так как , то .

Свойство 2.11. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы G.

Доказательство. Для a из G и b из ядра справедливо , то есть .

Множество элементов группы H, являющиеся образами элементов G, называют множеством образов и обозначают .

Свойство 2.12. Множество образов является подгруппой H.

Доказательство очевидно.

Теорема 2.6. Факторгруппа изоморфна .

Доказательство. Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию, следовательно, оно определяет изоморфизм и .

Теорема 2.7. Для любого нормального делителя H группы G существует гомоморфизм, ядро которого равно H. В частности таким гомоморфизмом из G в G/H является .

Доказательство очевидно.

Дата добавления: 2014-01-11