Функции двух переменных. Достаточный признак локального экстремума

Достаточный признак локального экстремума

Теорема 3.8. Если функция в окрестности точки является непрерывной и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е.

,

то:

1) если , ,

где , , ,

то является точкой минимума;

2) если , то является точкой максимума;

3) если , то не является точкой экстремума;

4) если , то данный признак не позволяет решить вопрос об экстремуме функции в этой точке (требуются дополнительные исследования).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Судить о поведении функции в некоторой окрестности точки будем по знаку величины приращения функции в этой точке. Если полное приращение функции для любой точки окрестности больше (меньше) нуля , то - точка минимума (максимума) (рис. 49).

Согласно формуле Тейлора приращение функции равняется

,

где .

По условию теоремы частные производные первого порядка в точке равны нулю, т. е. эта точка является стационарной. Поэтому

.

Тогда в первом приближении с учетом только одного первого отличного от нуля слагаемого в точке равно .

Запишем более подробно дифференциал второго порядка

.

Данный дифференциал представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных . Его можно записать в виде

.

По критерию Сильвестра квадратичная форма является определенно положительной, если все ее главные миноры положительные, т. е.

.

В этом случае , т. е. выполняются условия локального минимума в точке

Û

.

Если , то .

Тогда точка будет являться точкой локального максимума. Следовательно, для того, чтобы в точке был максимум дифференциал должен быть отрицательным . Согласно критерию Сильвестра данная квадратичная форма будет отрицательно определенной, если

.

Если для квадратичной формы минор второго порядка , то квадратичная форма, а следовательно и приращение функции не являются знакоопределенными в окрестности точки и эта точка не является точкой локального экстремума.

Если же , в точке равен нулю, то знак приращения будет определяться дифференциалом третьего порядка , который является более высокого порядка малости по сравнению с . Для решения вопроса об экстремуме функции в этом случае необходимы дальнейшие исследования.

Пример 3.24. Исследовать на экстремум функцию .

Находим критические точки. Для этого согласно необходимому признаку экстремума, находим частные производные первого порядка, приравниваем их нулю и решаем систему.

Û Þ ÞÞ

Имеется две критические точки и .

Используем достаточный признак для исследования этих точек на экстремум.

Находим , , .

Для точки находим , , ;

.

Следовательно, не является точкой экстремума.

Для точки находим , , ;

.

Так как , в точке имеет место минимум. Находим значение функции в этой точке .

Ответ: в точке .

Дата добавления: 2014-01-11