Действия над линейнымИ операторАмИ

Определение линейного оператора

Закон, по которому элементам х Î V ₁ ставятся в соответствие элементы пространства у Î V ₂ (у = Ах) – называется оператором из пространства V ₁ в пространство V ₂.

Если V ₁ = V ₂ = V то оператор А называется оператором в пространстве V.

Оператор у = Ах называется линейным если:

а) А (х ₁ + х ₂) = Ах ₁ + Ах ₂, " х ₁, х ₂Î V.

б) a А (х) = a Ах, " х Î V, "aÎК.

Примеры линейных операторов:

Q х = 0 (нулевой оператор);

Ех = х (единичный оператор);

Ах = l х (оператор подобия);

(оператор дифференцирования).

Пусть А и В линейные операторы на V.

А = В Þ " х Î V Ax = Bx (равенство операторов);

C = A + В Û Cx = (A + B) x º Ax + Bx (сумма операторов);

C = l A Û Cx = (l A) x = l× Ax (умножение оператора на скаляр);

свойства 2) и 3) определяют пространство линейных операторов, заданных на V.

C = A × В Û Cx = (AВ) x = А ×(Вx) (умножение операторов);

C (a х +b у) = a Cx + b Су (линейность оператора С = А·В);

l(A × В) = (l A) В;

А (В × С) = (А × В) С;

(А + В) С = АС + ВС; А (В + С) = АВ + АС.

Свойства 4), 5), 6), 7), 8) вводят на множестве линейных операторов вторую внутреннюю операцию, коротая совместно с 2), 3) позволяет говорить о алгебре линейных операторов на V.

Дата добавления: 2014-01-11