Связь линейных операторов с матрицами

Пусть А – линейный оператор на V, а базис V. Тогда " х Î V .

= .

Таким образом действие оператора А на " х Î V полностью определяется числами (а_ij) образующими матрицу которая называется матрицей линейного оператора А.

Преобразование, проведенное выше, указывает и способ построения матрицы линейного оператора в заданном базисе. Подействуем линейным оператором на векторы базиса, получившиеся векторы разложим в том же базисе и коэффициенты разложения запишем в соответствующие столбцы матрицы линейного оператора.

1°. В заданном базисе между квадратичными матрицами и линейными операторами существует взаимно однозначное соответствие.

Пример. Найти матрицу линейного оператора в пространстве функций вида { A cos(t + a)} в базисе e ₁ = cos t, e ₂ = sin t.

Подействуем оператором А на е_i, полученный вектор разложим в базисе {cos t, sin t } и координаты этого вектора запишем в i -й столбец: . Тогда . Это и есть матрица линейного оператора .

В самом деле: (3cos(t + 5)) ¢ =?

3cos(t + 5) = 3cos5cos t – 3sin5sin t = 3cos5 e ₁ – 3sin5 e ₂.

Тогда .

у = –3sin5 e ₁ – 3cos5 e ₂ = –3sin5cos t – 3cos5sin t = –3sin(t + 5).

Дата добавления: 2014-01-11