Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка.

диф. операции 1-го порядка диф. операции 2-го порядка

U(M)		grad U(M)		div grad U(M)
	rot grad U(M)
		div		grad div
				div rot
		rot		rot rot

Существует пять дифференциальных операций второго порядка. Запишем некоторые формулы для дифференциальных операций 2-го порядка:

1. div grad U =

Наряду с оператором Гамильтона в векторном анализе и его приложениях используется оператор Лапласа, обозначаемый символом ∆. Оператор Лапласа определен следующей формулой - или .

Выражение для div grad U можно записать следующим образом

div grad U=

2. Применяя оператор Гамильтона легко получить , т.к. векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю. Это означает, что поле градиента есть безвихревое поле.

3. , т.к. смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря – соленоидальное, не имеет источников и стоков.

Вопросы для самоконтроля.

1. Что такое скалярное поле? Привести примеры скалярных полей.

2. Привести примеры нестационарных и стационарных скалярных полей.

3. Что такое линии уровня и как их найти?

4. Производная по направлению, градиент скалярного поля.

5. Какое поле называется векторным? Привести примеры векторных полей.

6. Поток и дивергенция векторного поля.

7. Как вычислить циркуляцию векторного поля?

8. Понятие ротора, связь между циркуляцией и ротором векторного поля.

9. Как называется векторное поле, если дивергенция равна нулю, если ротор равен нулю?

Литература: [4] стр. 272-275, [6] стр. 499-524.

Примеры: [4] стр. 303, [1] стр. 192-201.

Дата добавления: 2014-01-11