Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ].

Тогда на этом отрезке функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является максимумом (минимумом).

Из предыдущего вытекает следующее

правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке [ a, b ]:

1) найти все максимумы (минимумы) на отрезке;

2) вычислить f (a) и f (b);

3) из всех полученных выше значений выбрать наибольшее (наименьшее); оно и будет представлять собой наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке.

Выпуклость, вогнутость и асимптоты функции

Пусть y = f (x) – однозначная дифференцируемая функция.

◙ Кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх (кривая выпуклая) на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой касательной на этом интервале.

◙ Кривая y = f (x) обращена выпуклостью вниз (кривая вогнутая) на интервале (b, с), если все точки кривой лежат выше любой касательной на этом интервале.

Рисунок 1.4.3

Теорема 6.

Если " х Î (a, b) f ¢¢(x) < 0, то кривая y = f (x) выпукла на этом интервале.

Теорема 6¢.

Если " х Î (a, b) f ¢¢(x) > 0, то кривая y = f (x) вогнута на этом интервале.

◙ Точка, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

З а м е ч а н и е. В точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую.

Теорема 7. (необходимое условие существования точки перегиба)

Если дифференцируемая функция y = f (x)имеет точку перегиба с абсциссой x = a, то f¢¢ (a) = 0.

Теорема 8. (достаточное условие существования точки перегиба)

Пусть кривая определяется уравнением y = f (x).

Если f¢¢ (a) = 0 или f¢¢ (a) не существует и при переходе через значение

x = a f¢¢ (x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой x = a есть точка перегиба.

Дата добавления: 2014-01-11