Уравнение в полных дифференциалах. ◙ Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (15)

◙ Уравнение вида P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, (15)

где P (x, y), Q (x, y) – некоторые функции, непрерывные вместе со своими частными производными в некоторой области и

, (16)

называется уравнением в полных дифференциалах.

Выполнение условия (16) равносильно тому, что левая часть уравнения (15) есть полный дифференциал некоторой функции u (x, y), т.е.

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = du (x, y) Þ (15) Û du (x, y) = 0 Þ u (x, y) = C,

где

(здесь (х ₀, у ₀) – точка, в окрестности которой существует решение Д.У.(15))

Таким образом, получаем общий интеграл уравнения (15):

.

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Т.к. основные общие понятия дифференциальных уравнений высших порядков были уже введены в п.1 данной лекции, то остановимся только на отдельных их видах и методах их решения.

1) Уравнения вида .

Найдем общий интеграл этого уравнения.

Т.к. у ^(п) = (у ^{(п -1)})¢, то

где х ₀ – любое фиксированное значение х, а С ₁ – постоянная интегрирования.

Интегрируя еще раз, получим: .

Продолжая далее, получим, наконец, выражение общего интеграла:

Дата добавления: 2014-01-11