Сверхидентифицируемые

Неидентифицируемые;

Идентифицируемые;

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффици­енты определяются однозначно, единственным образом по коэф­фициентам приведенной формы модели, т. е, если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Рассмотренная выше структурная модель (4.4) с двумя эндогенными и тремя экзогенными (предопределенными) переменными, содержащая шесть структурных ко­эффициентов, представляет собой идентифицируемую модель.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэф­фициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены че­рез коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде (4.1), содержащая п эндогенных и да предо­пределенных переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно по­лучить два или более значений одного структурного коэффициента, В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Так, если в структур­ной модели полного вида (4.1) предположить нулевые значения не только коэффициентов а₁₃ и а₂₁ (как в модели (4.2)), но и а₂₂ = 0, то система уравнений станет сверхидентифицируемой:

В ней пять структурных коэффициентов не могут быть однозначно определены из шести коэффициентов приведенной формы модели. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему сов­местных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель со­держит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j-м уравнении системы через H, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, — через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

D + 1 = H — уравнение точно идентифицируемо;

D + 1 < H — уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H — уравнение сверхидентифицируемо.

Предположим, рассматривается следующая система одновре­менных уравнений:

Первое уравнение точно идентифицируемо, ибо в нем присутствуют три эндогенные переменные - у_ь у₂, у₃, т. е. H = 3, и две экзогенные переменные - х, и х₂, число отсутствующих экзо­генных переменных равно двум -х₃и х₄, D= 2. Тогда имеем равенство: D + 1 = H, т. е. 2+1 = 3, что означает наличие иденти­фицируемого уравнения.

Во втором уравнении системы H = 2 (у, и у₂) и D = 1 (х₄). Равенство D + 1 = H, т.е. 1 + 1 = 2. Уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении системы H= 3 (у,, у₂,. Уз), a D = 2 (х, и х₂). Следовательно, по счетному правилу D + 1 = H, и это уравнение идентифицируемо. Таким образом, система в целом иденти­фицируема.

Предположим, что в рассматриваемой модели а₂₁ = 0 и а₃₃ = 0. Тогда система примет вид:

Первое уравнение этой системы не изменилось. Система по-прежнему содержит три эндогенные и четыре экзогенные переменные, поэтому для него D = 2 при H= 3, и оно, как и в предыдущей системе, идентифицируемо. Второе уравнение имеет H = 2 и D = 2 (х1, х₄ ), так как 2 + 1 > 2. Данное уравнение сверхидентифицируемое. Также сверхидентифицируемым оказывается и третье уравнение системы, где Н= 3 (у₁ у₂, у₃) и D = 3 (х_1, x₂, х₃), т.е. счетное правило составляет неравенство: 3 + 1 > 3 или D+ 1 > H.
Модель в целом является сверхидентифицируемой.

Предположим, что последнее уравнение системы (4.7) с тре­мя эндогенными переменными имеет вид:

т. е. в отличие от предыдущего уравнения в него включены еще две экзогенные переменные, участвующие в системе, -х1 и х₂. В этом случае уравнение становится неидентифицируемым, ибо при H = 3, D = 1 (отсутствует только х₃) и D + 1 < H, 1 + 1 < 3.
Итак, несмотря на то, что первое уравнение идентифицируемо, второе сверхидентифицируемо, вся модель считается неиденти­фицируемой и не имеет статистического решения. Для оценки параметров структурной м одели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели.

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, опредёлитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Что такое ранг матрицы? Рассмотрим на примерах.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но Присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения систе­мы выполнено счетное правило, а определитель матрицы назван­ных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Обратимся к следующей структурной модели:

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации. Для первого уравнения Н= 3 (У1, Y2, Уз) и D = 2 (х₃ и х₄ отсутствуют), т. е. D + 1 =Н и необходи­мое условие идентификации выдержано, поэтому уравнение точ­но идентифицируемо. Для проверки на достаточное условие идентификации заполним следующую таблицу коэффициентов при отсутствующих в первом уравнении переменных, в которой определитель матрицы (detA) коэффициентов равен нулю:

Уравнения	Переменные
	Х3		Х4
	a23		a24

Следовательно, достаточное условие идентификации не выполняется и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Для второго уравнения H = 2 (у₁ и у₂), D = 1 (отсутствует x₁). Счетное правило дает утвердительный ответ; уравнение иденти­фицируемо D + 1 = H).

Достаточное условие идентификации выполняется. Коэффи­циенты при отсутствующих во втором уравнении переменных со­ставят:

Уравнения	Переменные
	Y3			X1
	b13		a11
	-1		a31

Согласно таблице detA 0 ранг матрицы равен 2, что соответ­ствует следующему критерию: ранг матрицы коэффициентов должен быть не менее чем число эндогенных переменных в системе без одного. Итак, второе уравнение точно идентифици­руемо.

Третье уравнение системы содержит Н= 3 и D =2, т. е. по не­обходимому условию идентификации оно точно идентифицируемо (D + 1 = H). Противоположный вывод имеем, проверив его на достаточное условие идентификации. Составим таблицу коэффициентов при отсутствующих в третьем уравнении перемен­ных, в которой detA = 0:

Уравнения	Переменные .
	X3			X4
	0		0
	a23		a24

Из таблицы видно, что достаточное условие идентификации не выполняется. Уравнение неидентифицируемо. Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель, идентифици­руемая по счетному правилу, не может считаться идентифициру­емой исходя из достаточного условия идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны ±1. В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Например, рассмотрим эконометрическую модель экономи­ки страны:

где у1 -расходы на конечное потребление данного года;

y2 — валовые инвестиции в текущем году;

у₃ — расходы на заработную плату в текущем году;

y4 - валовой доход за текущий год;

x1 - валовой доход предыдущего года;

x2 - государственные расходы текущего года;

А - свободный член уравнения;

ε -случайные ошибки.

В этой модели четыре эндогенные переменные (y₁ у₂,yз, у4). Причем переменная y4 задана тождеством. Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех уравнений системы, которые необходимо проверить на иденти­фикацию. Модель содержит две предопределенных переменных — экзогенную х₂ и лаговую х₁.

При практическом решении задачи на основе статистической информации за ряд лет или по совокупности регионов за один год в уравнениях для эндогенных переменных y 1, у_2,, Уз обычно содержится свободный член (A01, А02, A03), значение которого ак­кумулирует влияние неучтенных в уравнении факторов и не влияет на определение идентифицируемости модели.

Поскольку фактические данные об эндогенных переменных у_х, у₂, уз могут отличаться от теоретических постулируемых моде­лью, то принято в модель включать случайную составляющую для каждого уравнения системы, исключив тождества. Случай­ные составляющие (возмущения) обозначены через е1, е₂ и е₃. Они не влияют на решение вопроса об идентификации модели.

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравне­ние системы точно идентифицируемо, ибо H=З, D = 2, и вы­полняется необходимое условие идентификации (D+1 = H). Кроме того, выполняется и достаточное условие идентификации, т. е. ранг матрицы равен 3, а определитель ее не равен 0: detA равен — A₃₁, что видно в следующей таблице:

Уравнения	У1	Х1	Х2
	-1	А21
		-А23

Второе уравнение системы так же точно идентифицируемо: Н = 2 и D = 1, т.е. счетное правило выполнено: D+1=H, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3

Уравнения	У1	У4	Х2
	-1	B14
		B34
		-1

Аналогично третье уравнение системы также идентифициру­емо: Н=2, D=l, D+l = H detA * 0, а ранг матрицы А= 3 и detA=l:

Уравнения	У1	Y2	X2
	-1
		-1
			I

Идентификация уравнений достаточно сложна и не ограни­чивается только вышеизложенным. На структурные коэффици­енты модели могут накладываться и другие ограничения, напри­мер, в производственной функции сумма эластичностей может быть равна по предположению 1. Могут накладываться ограниче­ния на дисперсии и ковариации остаточных величин.

Дата добавления: 2014-01-11