Тема 2. Модель лінійного програмування

S Контрольні запитання

1. Різниця між контролем якості та експертизою харчових продуктів.

2. Види експертиз.

3. Коли здійснюється санітарно-гігієнічна експертиза?

4. Основні цілі експертизи.

5. Яка послідовність проведення експертизи?

6. Як оцінюється якість харчових продуктів?

7. Що таке умовно придатні продукти?

8. Що таке фальсифіковані продукти?

9. Що таке продукти-сурогати?

10. Порядок знищення забракованих продуктів.

11. Методи визначення фальсифікацій харчової сировини.

12. Люмінесцентний метод визначення доброякісності харчових продуктів.

13. Шляхи запобігання забрудненню харчових продуктів.

14. Основні способи та прийоми зменшення ступеня забруднення харчових продуктів.

15. Що таке ксенобіотика?

16. Гранично допустимі концентрації хімічних речовин.

17. Що таке орієнтовно безпечні рівні дії?

18. Варіанти токсичної дії шкідливих речовин.

19. Що таке допустима добова доза шкідливих речовин?

20. Показники шкідливості ксенобіотиків.

21. Основні етапи досліджень щодо регламентування ксенобіотиків.

Розглянемо задачу лінійного програмування. Вона полягає в дослідженні функцій на оптимізацію при заданих умовах.

Приклад 6. Фірма виготовляє два види охолоджувачів, малі та великі. Кожен малий приносять прибуток $6, а кожен великий - $10. Для виробництва одного малого охолоджувача потрібно 2 кг сталі і 2 кг пластику. На виробництво великого потрібно 3 кг сталі та 9 кг пластику. Фірма має в наявності 1200 кг сталі та 2700 кг пластику. Яку кількість кожного виду охолоджувачів повинна виготовити фірма, щоб максимізувати свій прибуток?

Позначимо через x – кількість малих охолоджувачів, які повинна виготовити фірма, а через y – кількість великих охолоджувачів. Зі змісту задачі видно, що x та y можуть приймати лише невід’ємні значення. Отже, треба знайти таку комбінацію значень x та y, яка б максимізувала прибуток фірми при певних обмеженнях на ресурси. Оскільки на одному малому виробі фірма заробляє $6, а на великому - $10, то загальний дохід фірми можна записати у вигляді

P=6x+10y.

Оскільки фірма має обмежені ресурси, то вона може виготовити лише обмежену кількість продукції. Запишемо математично умови обмеженості ресурсів. Загальна кількість сталі, потрібна на виробництво x малих та y великих виробів, повинна дорівнювати 2x+3y кг і ця кількість не повинна перевищувати 1200 кг. Отже, маємо умову

Аналогічно отримуємо умову через обмежену кількість пластику

Накладені умови не дозволяють використовувати в задачі довільні комбінації (x,y). Комбінації (x,y), що задовольняють умови, будемо називати допустимими, а область, складена з допустимих точок, допустимою.

Розглянемо першу умову. Нерівність

включає рівність 2x+3y=1200 та нерівність 2x+3y<1200. Геометричним місцем точок, координати яких задовольняють рівність, є пряма. Що стосується нерівності, то підставимо точки над та під прямою в нерівність, і побачимо, що точки під прямою задовольняють нерівність, а точки над прямою не задовольняють. Для прикладу, точка (0,0) під прямою задовольняє нерівність, бо 2*0+3*0=0<1200, а точка (400,400) над прямою не задовольняє, бо 2*400+3*400=2000>1200.

Отже, на мал.8 точки на прямій та під прямою зображають допустимі комбінації (x,y). Аналогічний аналіз нерівності

показує, що допустимі комбінації значень (x,y) для цієї нерівності представляють точки на та під прямою 2x+9y=2700.

Комбінації (x,y), що задовольняють нерівності

зображені на мал.10 та мал.11 відповідно.

Тому допустимі комбінації (x,y) для всіх чотирьох нерівностей представлені точками, координати яких задовольняють всі нерівності одночасно. Допустима область – це перетин областей, зображених на мал.8-11, і її вигляд видно з мал.12.

Якщо точка з координатами (x,y) лежить у виділеній області, то фірма може виготовити x малих та y великих охолоджувачів. Якщо точка не лежить в цій області, то фірма не може виготовити таку комбінацію продукції (не достатньо ресурсів).

Тепер, коли ми визначили допустимі комбінації, потрібно знайти таку, при якій прибуток досягає найбільшого значення. Оскільки перевірити кожну допустиму комбінацію неможливо, то користуються наступним методом. Розглянемо рівняння

6x+10y=P*.

З однієї сторони, комбінації (x,y), що задовольняють дане рівняння, приносять фірмі прибуток, рівний P*. З другої сторони, точка з координатами (x,y) належить прямій 6x+10y=P*. Всі прямі такого вигляду, але з різними значеннями P*, є паралельні між собою. Тому накреслимо графіки цих прямих і виберемо ту з них, яка має найбільше значення P* і перетинає допустиму область.

З мал.13 видно, що шукана пряма проходить через точку перетину прямих 2x+3y=1200 та 2x+9y=2700. Визначимо цю точку, розв’язавши систему рівнянь, що задають ці прямі

Отже, точка має координати (225, 250). Це і є шукана комбінація виробництва, яка приносить фірмі максимальний прибуток

P=6*225+10*250=$3850.

Для цього фірма повинна виготовити 225 малих та 250 великих охолоджувачів. Будь-яка інша комбінація кількостей принесе фірмі менший прибуток.

Цей метод розв’язування задач лінійного програмування називається графічним. Ним можна користуватися у випадку двох змінних. Задача лінійного програмування складається з лінійної цільової функції, яку досліджуємо на максимум або мінімум, і сукупності лінійних умов на змінні. Для розв’язування задачі складають математичну модель, зображають допустиму область. Відомо, що оптимальне значення цільової функції завжди знаходиться в куті допустимої області. Тому, замість будувати паралельні прямі, достатньо лише знайти кути допустимої області і перевірити, в якому з них цільова функція приймає потрібне екстремальне значення.

Дата добавления: 2014-01-11