Уравнение энергии

Уравнение моментов количества движения (второе уравнение Эйлера)

Уравнение моментов количества движения не является новым независимым уравнением гидрогазодинамики. Оно представляет новую форму уравнения движения, членами которого являются не силы и не количества движения, а моменты сил и моменты количества движения. Уравнения моментов широко используется в теории турбомашин.

Уравнение моментов количества движения в математической форме устанавливает, что полная скорость изменения момента количества движения жидкости в контрольном объеме обусловлена моментом внешних сил, действующих на выделенный контрольный объем.

Умножим уравнение движения (4.9) векторно на радиус-вектор центра массы. Получим, в соответствии с правилами записи векторных операций, выражение:

.

Подставляя сюда формулу (4.10) для скорости изменения количества движения будем иметь уравнение моментов количества движения для жидкости в контрольном объеме:

,

где M_j – момент внешних сил, действующих на выделенный объем жидкости.

Уравнение моментов количества движения для конечного участка 1-2 элементарной струйки при установившемся течении относительно оси o-o удобно записать, используя полярную систему координат. В такой системе скорости на входе и выходе необходимо разложить на радиальные u_r и окружные составляющие u_t (рис. 4.4). Моменты количества движения от радиальных составляющих равны нулю (угол между u_r и r равен нулю) и уравнение моментов количества движения принимает простейшую и наиболее часто употребляемую форму:

Рис.4.4

Согласно этому уравнению конвективная скорость изменения момента количества жидкости на участке 1-2 обусловлена моментом внешних сил. Если момент внешних сил равен нулю, то изменение момента

количества движения не происходит и окружная (тангенциальная) составляющая скорости изменяется обратно пропорционально радиусу . Если бы жидкость вращалась бы как твердое тело, то окружная скорость ее увеличивалась бы с увеличением радиуса.

Определение сил взаимодействия между жидкостью и обтекаемыми телами является одной из важнейших задач МЖГ. Эта задача может решаться двумя способами. Первый основывается на вычислении поверхностных интегралов вида (4.11), что во многих случаях представляет большие трудности. Второй способ основывается на применении уравнения движения вида (4.17). Искомая сила определяется только по состоянию потока на входном и выходном участках контрольной поверхности без определения распределения нормальных и касательных напряжений по телу. Эта особенность уравнения движения позволяет при правильном выборе контрольной поверхности решать задачи, недоступные для первого способа.

Закон сохранения энергии в применении к жидкости, содержащейся в объеме V, сформулируем так: скорость изменения энергии жидкости в объеме обусловливается скоростью подвода (отвода) тепла через контрольную поверхность и работой, производимой напряжениями над этим объемом в единицу времени. Совершение жидкостью технической работы или подвод технической работы к жидкости пока рассматривать не будем.

Полная энергия единицы массы жидкости состоит из внутренней энергии e и кинетической энергии . Полная энергия единицы объема равна . Скорость изменения полной энергии в контрольном объеме представляет собой сумму нестационарной и конвективной частей (составляющих):

. (4.20)

Работа, производимая в единицу времени поверхностными напряжениями, равна скалярному произведению поверхностной силы на путь, проходимый в единицу времени, т.е. скорость:

(4.21)

Работа массовых напряжений f_i равна .

Скорость подвода тепла к объему, приходящегося на единицу площади (тепловой поток) обозначим q_i. Тепло, подведенное к объему V из окружающей среды, определится интегралом ; знак минус показывает, что направление теплового потока противоположно направлению внешней нормали к участку поверхности dS.

Собирая вместе все составляющие, получим уравнение энергии в следующей интегральной форме:

+, (4.22)

а соответствующим дифференциальным представлением этого уравнения будет

. (4.23)

Прибавляя к обеим частям уравнения (4.23) скорость изменения давления ¶ p/¶ t, получим уравнение энергии в таком представлении:

, (4.24)

а вводя в рассмотрение энтальпию i=e+p/r -

, (4.25)

или

, (4.26)

где - энтальпия торможения, энтальпия заторможенного потока, полная энтальпия.

Дата добавления: 2014-01-11