Производная функции одной независимой переменной

Опр. 1. Пусть функция у=f(х) определена в точке х₀ и некоторой ее окрестности, придадим точке х₀ приращение Δх и получим точку х₀+Δх, значение функции в этой точке – f(х₀+Δх). Разность значений f(х₀+Δх) – f(х₀) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х₀+Δх) – f(х₀).

Опр. 2. Производная функция у=f(х), в точке х₀ определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. Обозначается f `(x₀) = lim (Δf/Δx).

Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций.

Опр. 3. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке.

Опр. 4. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f (x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл. Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f ’(x) Δf/Δx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Δx. Производная f ’(x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Δf и Δx.

Дата добавления: 2014-01-13