Уравнение плоской волны

Уравнение волны определяет зависимость смещения колеблющейся точки от её координат и времени: . Эта функция должна быть периодической, т. к. точки, отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются в одинаковой фазе.

Волна, у которой фронт волны и волновая поверхность являются плоскостями, называется плоской волной.

Уравнением такой волны будет выражение , где координатная ось X ориентирована по направлению распространения волны, то есть перпендикулярно волновым поверхностям.

Пусть при x = 0: . Тогда в произвольную точку x колебания придут с опозданием :

Зафиксировав фазу и продифференцировав данное выражение, получим . Таким образом, скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы, в связи с этим ее называют фазовой скоростью.

Учитывая, что , , уравнение волны примет вид:

, (1.1)

где - волновое число.

При выводе предполагалось, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. Однако, как показывает опыт интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону. Соответственно уравнение плоской волны имеет вид:

,

где - амплитуда в точках плоскости х = 0.

Найдем теперь уравнение сферической волны. Всякий реальный источник обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Пусть фаза колебаний источника равна ω t + α. Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой ω (t - r /υ) + α = ω t – kr + α. Амплитуда колебаний в этом случае убывает с расстоянием от источника по закону 1/ r даже если энергия волны не поглощается средой. Следовательно, уравнение сферической волны

,

где r – расстояние от точечного источника, а – постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице.

В случае плоской незатухающей волны, распространяющейся в произвольном направлении, уравнение волны необходимо представить в векторном виде: .

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым.

Если продифференцировать функцию дважды по x, y, z, t, сложить производные по координатам и учесть, что , получим уравнение, которое называют волновым

– волновое уравнение (1.2)

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению этого вида, описывает некоторую волну, причем квадратный корень из величины, обратной коэффициенту при дает фазовую скорость этой волны. Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х, волновое уравнение имеет вид: .

Дата добавления: 2014-01-13