Параграф 2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной МТ

Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной МТ с той лишь разницей, что для несвободной МТ ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей – принципа освобождаемости (Ч. 2 Статика) силы пассивные (реакции связи), а в некоторых случаях и уравнения наложенных на МТ связей.

Так как система сил, приложенных к МТ, является сходящейся, то она всегда может быть приведена к равнодействующей.

Пусть – равнодействующая системы сходящихся сил, действующих на МТ.

Для свободной МТ равнодействующая равна геометрической сумме сходящихся активных сил, действующих на нее:

,

где – n-я активная (заданная) сила, действующая на МТ, n – количество активных сил.

Для несвободной МТ равнодействующая равна геометрической сумме сходящихся активных (заданных) сил и пассивных сил (сил реакций связей):

,

где – g-я пассивная сила (сила реакции связи), действующая на МТ, h - количество пассивных сил.

На основании второго закона динамики (1.2) с учетом соотношения (1.3) (Ч. 1 Кинематика), определяющим формулу для ускорения МТ при векторном способе задания движения:

,

получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме (рис. 1):

. (1.6)

Спроектировав соотношение (1.6) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения (1.12) (Ч. 1 Кинематика), определяющее проекцию ускорения МТ на оси декартовой системы координат:

, , ,

получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на эти оси (рис. 1):

(1.7)

Рис.1

Спроектировав соотношение (1.2) на оси естественного трехгранника () и использовав соотношения (1.26) и (1.28) (Ч. 1 Кинематика), определяющие формулы для ускорения МТ

при естественном способе задания движения:

, , ,

получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на оси естественного трехгранника (рис. 1):

(1.8)

Рассмотрены наиболее используемые случаи уравнений движения МТ. Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения МТ в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).

Дата добавления: 2014-01-13