Общие теоремы динамики МТ

Вторая (обратная) задача динамики МТ

Первая (прямая) задача динамики МТ

Параграф 3. Две основные задачи динамики МТ

Первая задача динамики МТ заключается в том, что, зная массу МТ и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на МТ силы.

Первая задача динамики решается, используя соотношения (1.6) – (1.8) в зависимости от способа задания движения (в основном используется операция дифференцирования).

Например, если заданы уравнения движения МТ в декартовой системе координат:

то проекции на оси координат силы , действующей на МТ, определятся после использования соотношений (1.7):

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов, которые составляет сила с осями декартовой системы координат.

Первая задача динамики для несвободной МТ достаточно часто сводится к тому, чтобы, зная массу МТ, уравнения или кинематические параметры ее движения и действующие на нее активные силы (заданные силы), определить пассивные силы (реакции связи).

Вторая задача динамики МТ заключается в том, что, зная массу МТ и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения.

Вторая задача динамики решается, используя соотношения (1.6) – (1.8), в зависимости от способа задания движения (в основном используется операция интегрирования).

Задачи динамики для несвободной МТ достаточно часто сводятся к тому, чтобы, зная массу МТ и действующие на нее активные силы (заданные силы), определить уравнения или кинематические параметры ее движения и пассивные силы (реакции связи), т. е. одновременно решаются первая и вторая задачи динамики.

Силы, приложенные к МТ, могут зависеть от времени, положения МТ в пространстве и от скорости ее движения, т. е.

.

Рассмотрим решение второй задачи в декартовой системе координат. Правые части дифференциальных уравнений движения (1.7) в общем случае содержат функции времени, координат, их производных по времени:

(1.9)

Для того, чтобы найти уравнения движения МТ в декартовых координатах, необходимо дважды проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (1.9), в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся МТ, а аргументом – время t. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение системы трех дифференциальных уравнений второго порядка содержит шесть произвольных постоянных:

(1.10)

где C_g, (g = 1,2,…,6) – произвольные постоянные.

Продифференцировав соотношения (1.10) по времени, определим проекции скорости МТ на координатные оси:

(1.11)

В зависимости от значений постоянных C_g, (g =1,2,…,6) уравнения (1.10) описывают целый класс движений, который могла бы совершить МТ под действием данной системы сил.

Действующие силы определяют только ускорение МТ, а скорость и положение МТ на траектории зависят еще от скорости, которую сообщили МТ в начальный момент, и от начального положения МТ.

Для выделения конкретного вида движения МТ (т. е. чтобы сделать вторую задачу определенной) надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий задают начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, принимаемый за начальный, задаются координаты движущейся МТ и проекции ее скорости:

при t = t₀(t = 0)

(1.12)

где – значения координат МТ и их производных в начальный момент времени t₀.

Используя начальные условия (1.12), формулы (1.10) и (1.11), получаем шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных:

(1.13)

Из системы (1.13) можно определить все шесть произвольных постоянных:

. (g = 1,2,…,6)

Подставляя найденные значения C_g, (g = 1,2,…,6) в уравнения движения (1.10), находим решения системы (1.9).

Дата добавления: 2014-01-13