Погрешность интерполирования

Рассмотрим вопрос о погрешности интерполирования, т.е. о погрешности, которую мы допускаем, заменяя функцию ее интерполяционным многочленом. Положим

(4.12)

Функция определена на отрезке [ a, b ]. Она называется остаточным членом интерполирования или погрешностью интерполяционной формулы Лагранжа.

Если , т.е. принадлежит пространству многочленов степени не выше п, значит, она сама является многочленом степени не выше п. Тогда . Если же , т.е не является многочленом степени не выше п, тообращается в 0 в узлах и заведомо отлична от 0 в других точках промежутка [ a, b ]. Имеет место

Теорема. Пусть, имеет на [a, b] непрерывные производные до порядка п включительно и существует ограниченная на [a, b] . Пусть отрезок [a, b] является наименьшим отрезком, содержащим узлы и точку у, в которой производится интерполирование, т.е.

.

Тогда на промежутке [a, b] существует такая точка , что

(4.13)

где .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если , то левая и правая части равенства (4.13) обращаются в 0. Пусть y не совпадает ни с одним из узлов, т.е. , . Введем вспомогательную функцию:

где С — некоторая постоянная. Очевидно, , т.е. узлы являются корнями функции j(х) на промежутке [ a, b ]. Найдем постоянную С из условия, что у — тоже корень функции j (х), т.е. . Тогда

Функция j(х) имеет на промежутке [ a, b ] п +2 попарно различных корня . По теореме Ролля между любыми двумя соседними корнями функции j(х) лежит по крайней мере один корень производной . Всего отрезков п +1, следовательно, производная имеет внутри [ a, b ] по крайней мере п +1 корень. Применяем теорему Ролля к функции . Получаем, что 2-я производнаяимеет внутри [ a, b ], по крайней мере, п корней. Продолжая рассуждения аналогичным образом, получаем, что имеет внутри [ a, b ], по крайней мере, 1 корень. Обозначим его через . Возьмем производную п +1-го порядка от функции . При этом воспользуемся тем, что степень многочлена не выше п, следовательно, производная п +1-го порядка от него будет равна 0, а многочлен имеет степень п +1 и старший коэффициент 1, следовательно, производная п +1-го порядка от него будет равна . Таким образом, получаем

Т.к. , то из последнего равенства и следует (4.13). g

Дата добавления: 2014-01-14