Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим простейший случай знакопеременного ряда: знакочередующийся ряд. Т. е. ряд, у которого знаки чередуются, вида

(4)

Теорема Лейбница. Если для членов ряда (1) выполнены условия:

1. Ряд знакочередующийся, т. е. имеем ряд вида (4).

2. Члены ряда убывают по абсолютной величине. Т. е. для всех n выполнено условие

3. или

Тогда ряд сходится и его сумма s не превосходит величины u₁.

Доказательство.

Возьмем

Запишем его в виде

Так как каждая скобка положительна в силу условия 2, то величина s_2n монотонно возрастает с ростом n. Следовательно, предел последовательности s_2n существует.

Возьмем

Запишем его в виде

Так как каждая скобка положительна в силу условия 2, то величина s_2n+1 монотонно убывает с ростом n. Следовательно, предел последовательности s_2n+1 существует. Очевидно, что

Перейдем к пределу

.

Запишем равенство

Перейдем к пределу

Так как последовательность s_2n ограничена, то предел ее равен конечному значению. Следовательно, ряд (4) сходится.

Следствие. Если заменить ряд конечной суммой из первых членов, то допущенная погрешность от замены не превышает абсолютной величины первого отброшенного слагаемого и совпадает с ним по знаку. Доказательство следует из того, что остаток ряда снова является знакочередующимся рядом, и допущенная ошибка меньше или равна сумме остатка.

Замечание. Для сходимости ряда условие 2 должно выполняться, начиная с некоторого, может быть, большого номера.

Пример. Исследовать сходимость ряда:

Составим ряд из абсолютных величин

Этот ряд расходится по признаку Дирихле. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница. Условие 1 выполняется. Для условия 2 должно быть

которое очевидно выполняется. Условие 3 также выполнено, так как

Следовательно, ряд сходится условно.

Дата добавления: 2014-01-14