Определение реакций в наложенных связях в основной системе метода перемещений от различных воздействий в матричной форме

Теорема о работе концевых усилий и ее приложение к плоским стержневым системам

Расчет статически неопределимых систем методом перемещений в матричной форме

Лекция двадцать вторая

22.1. Теорема о работе концевых усилий и ее приложение к плоским стержневым системам

22.2. Определение реакций в наложенных связях в основной системе метода перемещений от различных воздействий в матричной форме

22.3. Стандартные матрицы внутренней жесткости элементов сооружений

22.4. Матричная форма расчета статически неопределимых систем методом перемещений

22.5. Пример расчета плоской рамы методом перемещений на силовое воздействие в матричной форме

22.6. Вопросы для самопроверки

В основе расчета статически неопределимых систем методом перемещений в матричной форме лежит теорема о работе концевых усилий. Поясним сначала содержание и доказательство этой теоремы в общем виде.

Пусть требуется определить реакцию R_ik в i-й связи заданного сооружения (рис. 22.1,а), испытывающего в k-м равновесном состоянии любые внешние воздействия (силовые, температурные, кинематические).

Рассмотрим вспомогательное i-е состояние сооружения, в котором i-я связь получила единичное перемещение (рис. 22.1,б) и введем следующие обозначения:

g – число узлов сооружения;

m – число его стержней (элементов);

W_ext,j – возможная работа внешних сил, приложенных к j-му элементу в k-м состоянии сооружения, на перемещениях этого элемента, вызванных единичным смещением i-й связи;

W_int,j – возможная работа внутренних сил j-го элемента в k-м состоянии сооружения на тех же перемещениях (напоминаем читателям о том, что эта работа отрицательна);

W_ext,h – возможная работа внешних сил, приложенных к узлу h в k-м состоянии сооружения, на тех же перемещениях.

Используем принцип Лагранжа для k-го равновесного состояния всего сооружения (рис. 22.1,а), приняв за возможные перемещения, имеющие место в i-м состоянии (рис. 22.1,б)

(22.1)

Рассмотрим отдельный j-й элемент сооружения (рис. 22.2,а). В его концевых сечениях действуют силы, которые в дальнейшем будем называть концевыми усилиями. Обозначим через A_j возможную работу концевых усилий j-го элемента k-го равновесного состояния сооружения на перемещениях концов этого элемента в i-м состоянии (рис. 22.2,б). Запишем условие равновесия отдельного j-го элемента в форме Лагранжа, приняв, по-прежнему, за возможные – перемещения в i-м состоянии сооружения

(22.2)

Из зависимости (22.2) для отдельного элемента следует, что

(22.3)

Рис. 22.2

Для полного ансамбля разобщенных друг от друга элементов сооружения, используя (22.3), имеем:

. (22.4)

Подставив выражение (22.4) в соотношение (22.1), окончательно получим математическую формулировку теоремы о работе концевых усилий:

. (22.5)

В общей форме теорема о работе концевых усилий может быть прочитана так: реакция i-й связи k-го равновесного состояния сооружения равна работе концевых усилий его элементов и взятой с обратным знаком работе узловых сил на перемещениях, вызванных единичным смещением i-й связи.

Конкретизируем эту теорему для плоских стержневых систем.

Концевое сечение отдельного элемента, примыкающее к узлу h, обозначим через h (рис. 22.2,а), а противоположное концевое сечение – через j (в соответствии с номером рассматриваемого элемента). Нагрузку, действующую на j-й элемент, заменим равнодействующей R_j. Проекции этой равнодействующей на оси y и x обозначим соответственно через R_jy и R_jx (рис. 22.2,а). На узел h (рис. 22.2,б) действуют сосредоточенный момент и произвольная сосредоточенная сила R_h (ее проекции на оси y и x – R_hy и R_hx).

В концевых сечениях элемента j действуют концевые усилия: концевые изгибающие моменты M_j и M_h, концевые поперечные силы Q_j и Q_h и концевые продольные силы N_j и N_h. На рис. 22.2,а показаны положительные концевые усилия. Особо следует подчеркнуть, что концевой изгибающий момент считается положительным, если он элемент вращает по часовой стрелке, и отрицательным, – если против часовой стрелки.

Из условий равновесия j-го элемента получим:

(22.6)

(22.7)

На рис. 22.2,в показаны угловые и линейные перемещения концевых сечений j-го элемента в i-м состоянии. Повороты концевых сечений элементов будем считать положительными, если они происходят по часовой стрелке, и отрицательными, – если против часовой стрелки. Взаимное смещение концов j и h в направлении, перпендикулярном оси стержня до его деформации (в направлении оси y), называется перекосом j-го элемента. Из рис. 22.2,в видно, что

(22.8)

Перекос j-го элемента считается положительным, если в результате линейных перемещений концов j и h его поворот совершается по часовой стрелке, и отрицательным, – если против часовой стрелки.

Так как в расчетах стержневых систем методом перемещений пренебрегают изменениями длин их элементов под воздействием продольных сил, то взаимное смещение концов j и h j-го элемента в направлении его оси (в направлении оси x) равно нулю, т.е.

(22.9)

Вернемся к соотношению (22.5) и вычислим его правую часть для плоских стержневых систем.

Для отдельного j-го элемента имеем:

С учетом соотношений (22.6)–(22.8) возможная работа концевых усилий j-го элемента на перемещениях, имеющих место в i-м состоянии (рис. 22.2,б) перепишется:

(22.10)

Для всех элементов заданного сооружения работа концевых усилий суммируется

(22.11)

причем составляющие R_jy и R_jx равнодействующей нагрузки, приложенной к j-му элементу, работу совершают на линейных перемещениях узла h (Δ_hy и Δ_hx), происходящих в i-м состоянии (рис. 22.2,в). Как видно из рис. 22.2,а, узел h расположен в стороне, противоположной концевому сечению j, т.е. сечению, в котором зафиксирована концевая поперечная сила Q_j.

Работа узловых сил, действующих на отдельный узел h (рис. 22.2,б), на перемещениях этого узла, совпадающих с перемещениями концевого сечения h j-го элемента в i-м состоянии, будет равна:

(22.12)

Для всех узлов стержневой системы выражение (22.12) суммируется от h до g

(22.13)

Подставив соотношения (22.11) и (22.13) в формулу (22.5), окончательно получим математическую формулировку теоремы о работе концевых усилий для плоских стержневых систем:

(22.14)

В матричной форме выражение (22.14) перепишется:

(22.15)

Поясним смысл матриц, входящих в соотношение (22.15):

R_k – матрица искомых реакций в связях стержневой системы, находящейся в k-м равновесном состоянии при любых заданных внешних воздействиях (силовых, температурных, кинематических);

S_k – матрица концевых усилий элементов сооружения (изгибающих моментов M_j и M_h и поперечных сил Q_j), возникающих в k-м состоянии от заданных внешних воздействий;

– матрица нагрузок (сосредоточенных моментов и сосредоточенных сил (R_jy + R_hy), (R_jx + R_hx)), действующих на узлы сооружения в k-м равновесном состоянии;

a – матрица концевых перемещений элементов стержневой системы (углов поворота концевых сечений θ_j и θ_h отдельных стержней и их перекосов Δ_jh) от единичного смещения связей, в которых определяются реакции от заданных внешних воздействий;

с – матрица угловых θ_h и линейных перемещений Δ_hy и Δ_hx узлов от единичного смещения связей, где определяются реакции в k-м равновесном состоянии сооружения.

Число столбцов в матрицах R_k, S_k и равно числу вариантов внешних воздействий, а в матрицах a и с – числу связей, в которых определяются реакции от заданных воздействий. Число строк в матрице R_k соответствует числу связей, где необходимо определить реакции в k-м равновесном состоянии сооружения.

В дальнейшем за k-е равновесное состояния сооружения будем принимать его основную систему метода перемещений. Рассмотрим сначала определение в матричной форме реакций в наложенных связях основной системы метода перемещений от внешних воздействий (силовых, температурных, кинематических). Используем для решения этой задачи матричное соотношение (22.15), опуская в нем индекс «k»

(22.16)

Элементы матриц R, , , a, c, входящих в выражение (22.16), имеют прежний смысл (см. п. 22.1), но теперь они определяются для основной системы метода перемещений. Конкретизируем содержание элементов перечисленных матриц для нашего случая.

R – матрица реакций в наложенных связях основной системы метода перемещений от внешних воздействий

Здесь R_F, R_t, R_c – реакции в наложенных связях соответственно от силовых, температурных и кинематических воздействий. Число столбцов матричных блоков R_F, R_t, R_c определяется числом комбинаций указанных типов воздействий.

– матрица концевых усилий элементов сооружения в основной системе метода перемещений от внешних силовых, температурных и кинематических воздействий

– матрица узловых нагрузок в основной системе метода перемещений. В этой матрице отличными от нуля будут элементы только блока F, описывающего силовое воздействие на сооружение. Блоки, соответствующие температурным и кинематическим воздействиям, будут нулевыми. В общем случае матрица имеет вид:

Напоминаем читателям: равнодействующие R_jy и R_jx нагрузок, приложенные к отдельным элементам, передаются на узлы h, т.е. узлы, расположенные противоположно по отношению к тем сечениям j, где при формировании матрицы фиксировались концевые поперечные силы Q_j. Число столбцов в матричных блоках матриц и соответствует числу столбцов в блоках R_F, R_t и R_c матрицы R.

a – матрица концевых перемещений стержней в основной системе метода перемещений, вызванных смещением наложенных угловых и линейных связей на величину, равную единице.

с – матрица углов поворота и линейных перемещений узлов в основной системе метода перемещений от смещения наложенных на узлы сооружения связей на величину, равную единице.

Число столбцов в матрицах a и с равно числу угловых и линейных связей, накладываемых на узлы сооружения при образовании его основной системы метода перемещений, т.е. равно степени кинематической неопределимости сооружения.

Далее рассмотрим определение в матричной форме реакций в наложенных угловых и линейных связях в основной системе метода перемещений от смещения этих связей на величину, равную единице. Если степень кинематической неопределимости сооружения равна n, то матрица реакций в наложенных связях запишется в общем виде:

где r_ij – реакция в i-й наложенной связи от смещения j-й наложенной связи на величину, равную единице, в основной системе метода перемещений.

Для вычисления элементов матрицы r используем соотношение (22.16). Теперь в нем , так как в рассматриваемом равновесном состоянии узловые силы отсутствуют. Введя другие обозначения (r вместо R и вместо ), получим:

(22.17)

В матричной зависимости (22.17) – матрица концевых усилий стержней сооружения в основной системе метода перемещений от смещения наложенных на узлы связей на величину, равную единице. Эту матрицу можно представить в виде произведения

, (22.18)

где K – матрица концевых усилий стержней от единичных перемещений их концевых сечений в основной системе метода перемещений. Так как в основной системе метода перемещений мы имеем набор ограниченного количества стандартных стержней, элементы матрицы K для каждого стержня из этого набора могут быть получены заранее. Матрица K для всего сооружения запишется

(22.19)

В матрице (22.19) блок К_j – это стандартная матрица внутренней жесткости j-го стержня.

После подстановки соотношения (22.18) в матричную зависимость (22.17) получим

(22.20)

Квазидиагональная матрица K называется матрицей внутренней жесткости сооружения.

Дата добавления: 2014-01-14