Использование функций регрессии

Многомерный регрессионный анализ

Экспоненциальный регрессионный анализ.

Линейная регрессия

Х х

Рисунок 1 Линейная регрессия Рисунок 2 Нелинейная регрессия

По полученному уравнению можно вычислить (сделать прогноз) значение функции у для любого значения х, как внутри интервала изменения х из таблицы(интерполяция), так и вне его (экстраполяция).

Линейная регрессия дает возможность наилучшим образом провести прямую линию через точки одномерного массива данных. Уравнение с одной независимой переменной, описывающее прямую линию, имеет вид:

y = mx+b,(1)

где:

х - независимая переменная;

у -зависимая переменная;

m – характеристика наклона прямой;

b - точка пересечения прямой с осью у.

Например, имея данные о реализации товаров за год можно с помощью линейной регрессии получить коэффициенты прямой (1) и, предполагая дальнейший линейный рост, получить прогноз реализации на следующий год.

Нелинейная регрессия позволяет подбирать к табличным данным нелинейное уравнение – параболу, гиперболу и др. Excel реализует нелинейность в виде экспоненты, т.е. подбирает кривую вида

y = b·mx, (2)

которая позволяет наилучшим образом провести экспоненциальную

кривую по точкам данных, которые изменяются нелинейно.

Так, например, данные о росте населения почти всегда лучше описываются не прямой линией, а экспоненциальной кривой. При этом нужно помнить, что достоверное прогнозирование возможно только на участках подъёма или спуска кривой (при отрицательных значениях х), т.к. сама кривая (2) изменяется монотонно, без точек перегиба. Например, делать экспоненциальный прогноз для функции, изменяющейся синусоидально, можно только на участках подъёма или спуска функции, для чего её разбивают на соответствующие интервалы.

Множественная регрессия представляет собой анализ более одного набора данных аргумента х и дает более реалистичные результаты. Множественный регрессионный анализ также может быть как линейным, так и экспоненциальным. Уравнения регрессии (1) и(2) примут соответственно вид (3) и (4):

у=m₁x₁ + m₂x₂ +... + m_nx_n + b (3)

у = b·m₁x₁· m₂x₂ ·... · m_nx_n (4)

где:

x_l, x₂,..., x_n - независимые переменные.

С помощью множественной регрессии, например, можно оценить стоимость дома в некотором районе, основываясь на данных его площади, размерах участка земли, этажности, вида из окон и т.д.

В Excel имеется 5 функций для линейной регрессии (ЛИНЕЙН(...), ТЕНДЕНЦИЯ(...), ПРЕДСКАЗ(...), НАКЛОН(...), СТОШУХ(...)) и 2 функции дня экспоненциальной регрессии - ЛГРФПРИБЛ(...) и POCT(...). Рассмотрим некоторые из них.

1 Функция =ЛИНЕЙН(изв._знач._y;изв. _знач. x;конст;стат)(5)

вычисляет коэффициентm и постоянную b для уравнения прямой (1).

Известные_значения_y и известные_значения_x - это множество значений y и необязательное множество значений x (их вводить необязательно), которые уже известны для соотношения (1).

Константа - это логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если константа имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом.

Статистика - это логическое значение, которое указывает, требуется ли вывести дополнительную статистику по регрессии.

Если статистика имеет значение ЛОЖЬ(или 0),то функция ЛИНЕЙН возвращает только значения коэффициентов m и b, в противном случае выводится дополнительная регрессионная статистика в виде табл.2:

Таблица 2

mn	mn-1	...	m2	m1	b
sen	sen-1	...	se2	se1	seb
r^2	sev	...	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
F	df	...	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
ssreg	ssresid	...	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

где

se₁,se₂,...,se_n - стандартные значения ошибок для коэффициентов m₁,m₂,...,m_n.

se_b - стандартное значение ошибки для постоянной b (se_b равно #Н/Д, т.е. «нет допустимого значения», если конст. имеет значение ЛОЖЬ).

r² - коэффициент детерминированности. Сравниваются фактические значения y и значения, получаемые из уравнения прямой; по результатам сравнения вычисляется коэффициент детерминированности, нормированный от 0 до 1. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

se_y - стандартная ошибка для оценки y (предельное отклонение для у).

F - F-статистика, или F-наблюдаемое значение. F-статистика используется для определения того, является ли наблюдаемая взаимосвязь между зависимой и независимой переменными случайной или нет.

df - cтепени свободы. Степени свободы полезны для нахождения F-критических значений в статистической таблице. Для определения уровня надежности модели нужно сравнить значения в таблице с F-статистикой, возвращаемой функцией ЛИНЕЙН.

ss_reg - регрессионая сумма квадратов.

ss_resid - oстаточная сумма квадратов.

#Н/Д – ошибка, означающая “Нет доступного значения”.

Любую прямую можно задать ее наклоном mи y-пересечением:

Наклон (m):

Для того, чтобы определить наклон прямой, обычно обозначаемый через m, нужно взять две точки прямой (x₁,y₁) и (x₂,y₂); тогда наклон равен m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).

y-пересечение (b):

y-пересечением прямой, обычно обозначаемым через b, является значение y для точки, в которой прямая пересекает ось y.

Уравнение прямой имеет вид y = mx + b. Если известны значения m и b, то можно вычислить любyю точку на прямой, подставляя значения y или x в уравнение. Можно также использовать функцию ТЕНДЕНЦИЯ (см. ниже).

Если для функции уимеется только одна независимая переменная x, можно получить наклон и y-пересечение непосредственно, используя следующие формулы:

2 Наклон m:

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(изв_знач_y;изв_знач_x);1)

3 y-пересечение b:

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(изв_знач_y;изв_знач_x);2)

Точность аппроксимации с помощью прямой, вычисленной функцией ЛИНЕЙН, зависит от степени разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем более точными являются модель, используемая функцией ЛИНЕЙН, и значения, получаемые из уравнения прямой.

4 Функция ЛГРФПРИБЛ. В случае экспоненциальной регрессии аналогом функции (5) является функция

=ЛГРФПРИБЛ(изв_знaч_у; изв_ знач_х; конст;стат), (6)

которая отличается лишь тем, что вычисляет коэффициенты mи bдля

экспоненциальной кривой (2).

5 Функция ТЕНДЕНЦИЯ

=ТЕНДЕНЦИЯ(изв_знач_y; изв_знач_x;нов_знач_x;конст)(7)

возвращает числовые значения, лежащие на прямой линии, наилучшим образом аппроксимирующей известные табличные данные.

Новые_значения_x - это те, для которых необходимо вычислить соответствующие значения y.

Если параметр новые_значения_xпропущен, то считается, что он совпадает с известными x. Назначение остальных параметров функции ТЕНДЕНЦИЯ совпадает с описаными выше.

6 В случае экспоненциальной регрессии аналогом функции (7) является функция =РОСТ(изв_знач_y; изв_знач_x; конст)(8)

7 функция =CTOШУX(изв_знач_y;изв_знач_х)(9)

возвращает стандартную погрешность регрессии - меру погрешности

предсказываемого значения у для заданного значения х.

3.1 Правила ввода функций:

Формулы (5)-(8) являются табличными, т.е. они заменяют собой несколько обычных формул и возвращают не один результат, а массив результатов. Поэтому необходимо соблюдать следующие правила:

1 Перед вводом одной из формул (5)-(8) выведите блок ячеек, совпадающей по размеру (или больший) с величиной возвращаемого формулой массива результатов. Например, при использовании функции ЛИНЕЙН с выводом статистики нужно выделить массив ячеек, равный табл. 1, если параметр статистика равен ЛОЖЬ, достаточно выделить одну строку табл.1;

2 Наберите функцию в строке формул. При этом слова на русском языке можно набирать строчными буквами, т.к. они являются ключевыми и при вводе Excel автоматически переведёт их в заглавные. Имена ячеек обязательно вводятся латинским шрифтом. Вместо слова ИСТИНА можно вводить числа от 1 до 9 (не 0), а вместо слова ЛОЖЬ – число 0. Если в результате выполнения функции выводится одно число, можно вводить формулы не вручную, а использовать аппарат Мастера функций.

3) одновременно нажмите клавиши Shift+Ctri+Enter. Результаты вычислений заполнят выделенные ячейки.

Дата добавления: 2014-10-15