Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений с переменными имеет вид:

(1.8)

где , – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением данной системы называется такая совокупность чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Например, система уравнений – совместная и определенная, так как имеет единственное решение ; система – несовместная; а система уравнений – совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений.

Две системы называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений (рассмотренных применительно к матрицам) получается система, равносильная данной.

Запишем данную систему в матричной форме. Обозначим:

; ; ,

(1.9)

где – матрица коэффициентов при переменных или матрица системы, – матрица-столбец переменных, – матрица-столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение:

есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части данной системы. На основании определения равенства матриц систему можно записать в виде:

.

(1.10)

Пусть число уравнений системы равно числу переменных, т.е. . Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называется определителем системы.

Методы решения систем линейных уравнений:

1. Метод обратной матрицы. Для получения решения системы при в общем виде предположим, что ее определитель . В этом случае существует обратная матрица . Умножая слева обе части равенства на матрицу , получим . Так как , то решением системы в матричной форме будет матрица-столбец

.

(1.11)

2. Другой метод решения системы уравнений основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы систе­мы :

Выпишем вспомогательные определители , соответствующие каждой переменной , которые получаются путем замены -го столбца основного определителя столбцом свободных членов :

, ,…, .

Тогда:

§ если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера:

, , …, ;

(1.12)

§ если , а среди определителей имеются не равные нулю, то система не имеет решений;

§ если и все , то система имеет бесконечное множество решений.

Пример 1.8. Решить систему уравнений

Решение. а) Решим систему методом Крамера. Выпишем матрицы и :

, .

, ,

, .

Решение системы найдем по формулам (1.12):

, , .

Проверка показывает, что , , удовлетворяют уравнениям данной системы, следовательно, являются ее решением.

б) Решим систему методом обратной матрицы. Выпишем матрицы , и :

, , .

Вычислим определитель матрицы : .

Найдем , для этого выпишем алгебраические дополнения матрицы :

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Тогда .

Решение системы найдем из равенства (формула 1.11):

.

Итак,

, , .

Дата добавления: 2014-11-06