Выборочные числовые характеристики

По выборке по признаку Х можно найти выборочные числовые характеристики:

Х_в – выборочная средняя,

Д_в (Х) – выборочная дисперсия,

s_в (Х) – выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочную среднюю Х_в можно найти по выборке по формулам:

Х_в = (х₁+ х₂+ х₃+…+х_n)

в случае задания выборки с помощью простого перечисления значений признака;

Х_в = (х₁n₁+ х₂n₂+ х₃n₃+…+х_kn_k)

в случае задания выборки с помощью вариант и частот;

Х_в = (х₁w₁+ х₂w₂+ х₃w₃+…+х_kw_k)

в случае задания выборки с помощью вариант и относительных частот.

В нашем примере

Х_в = (2+3+4+5+2+3+2+5+5+5)= 3,6

Х_в = (2´3+3´2+4´1+5´4)= 3,6

Х_в = 2´0,3+3´0,2+4´0,1+5´0,4= 3,6

Х_в характеризует среднее значение признака Х во всей генеральной совокупности. Таким образом, в нашем примере Х_в= 3,6 балла – средняя успеваемость ученика по предмету.

Для нахождения дисперсии Д(Х) также могут использоваться различные формулы в зависимости от способа задания выборки. Обычно используют следующую формулу:

Д(Х) = Х_в² – (Х_в)².

Здесь Х_в – выборочная средняя признака Х;

Х_в² – выборочная средняя квадрата признака Х;

Х_в² = (х₁² + х₂² + х₃² + … + х_n²) – в случае если выборки заданы с помощью перечисления значений признака;

Х_в² = (х₁²n₁ + х₂²n₂ + х₃²n₃+ … + х_к²n_к) – в случае, когда выборки заданы с помощью вариант и частот.

Найдем Д_в(Х), s_в(Х) в нашем примере.

Имеем:

Х_в² = (2²´3 + 3²´2 + 4²´1 + 5²´4) = 146 = 14,6;

Д_в(Х) = Х_в² - Х_в² = 14,6 – 3,6² = 14,6 – 12,96 = 1,64;

s_в(Х) = = ≈ 1,28 (балла).

Выборочные числовые характеристики Д_в(Х), s_в(Х) характеризуют разброс значений признака Х во всей генеральной совокупности: чем больше Д_в(Х) (или s_в(Х)), тем больше разброс.

При малых объемах выборки (n £ 30) выборочные Д_в(Х), s_в(Х) «исправляют», т.е. берут исправленные характеристики:

Д_{в испр.}(Х) = Д_в(Х),

s_{в испр}(Х) =.

В нашем примере n < 30, поэтому

Д_{в испр.}(Х) = Д_в(Х) = 1,64» 1,82,

s_{в испр}(Х) = » 1,35 (балла).

Дата добавления: 2014-11-06