Должно быть 2 страница

Выпишем в явном виде соотношения для простой волны в по­литропном газе; для определенности будем считать, что в волне есть точка, в которой v = 0, как это обычно бывает в различных конкретных задачах. Поскольку формула (101,6) совпадает с формулой (99,6), то аналогично формулам (99,14—16) имеем:

c = c₀±^-~v, (101,6)

Подставляя (101,6) в (101,5), получим:

* = г(±с₀ + ^ЦЬ¹<') + f(v). (101,8)

Иногда бывает удобным писать это решение в виде

^0=55F[* -{^±co+^Ji^±v)^t]' (101,9)

где F — опять произвольная функция.

Из формул (101,6—7) снова (как и в § 99) видно, что ско­рость, направленная в сторону, противоположную направлению распространения волны (относительно самого газа), ограничена по своей абсолютной величине; для волны, распространяющей­ся в положительном направлении оси х, имеем:

-°<^т- (101,10)

Бегущая волна, описываемая формулами (101,4—5), суще­ственно отличается от волны, получающейся в предельном слу­чае малых амплитуд. Скорость, с которой перемещаются точки профиля волны, равна

u = v±c; (101.11)
ее можно рассматривать наглядно как результат наложения рас­пространения возмущения относительно газа со звуковой ско­ростью и перемещения самого газа со скоростью v. Скорость и является теперь функцией плотности и поэтому различпа для разных точек профиля. Таким образом, в общем случае плоской волны произвольной амплитуды не существует определенной по­стоянной скорости волны. Благодаря различию в скоростях то­чек профиля волны последний не остается неизменным и ме­няет со временем свою форму.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х; для нее и = v + с. В § 99 была вычислена производная от v + с по плотности (см. (99,10)). Мы видели, что du/dp > 0. Таким образом, ско­рость распространения заданной точ­ки профиля волны тем больше, чем больше плотность. Если обозначить посредством с₀ скорость звука для плотности, равной равновесной плот­ности ро, то в местах, где имеется сжатие, р > ро и с >■ с₀; в точках разрежения, напротив, р < р₀ и с < с₀.

Неодинаковость скорости пере­мещения точек профиля приводит к изменению его формы со временем: точки сжатия выдвигаются вперед, а точки разрежения оказываются отставшими (рис. 80,6). В конце концов профиль волны может на­столько выгнуться, что кривая р(х) (при заданном г) оказывается неод­нозначной — некоторым х соответ­ствует по три различных значения р (рис. 80, в, пунктирная ли­ния)¹). Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неоднозначности р возникают раз­рывы, в результате чего р оказывается везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функцией. Профиль волны приобретает при этом вид, изображенный на рис. 80, в сплош­ной линией. Поверхности разрыва возникают, таким образом, на протяжении каждой длины волны.

После возникновения разрывов волна перестает быть про­стой. Наглядная причина этого заключается в том, что при на­личии поверхностей разрыва происходит отражение волны от

') О такой деформации профиля волны часто говорят как о его опроки­дывании.

Для политропного газа эти уравнения гласят:

/•=-^7 Г (о). Р»=0, (101,13)

где f(v) — функция, входящая в общее решение (101,8).

Эти условия должны быть видоизменены, если простая волна граничит с неподвижным газом и ударная волна возникает как раз на этой границе. И здесь в момент возникновения разрыва кривая v = v (х) должна стать вертикальной, т. е. производная (dx/dv)t должна обратиться в нуль. Обращение же в нуль вто­рой производной не обязательно; вторым условием здесь яв­ляется просто равенство нулю скорости на границе с неподвиж­ным газом, так что имеем условие

(—) I = V dv)t |„_о

0.

Из этого условия время и место образования разрыва могут быть найдены в явном виде. Дифференцируя выражение (101,5), получим:

_{/ =} __0°1, д- = ±_С(/ + /(0). (101,14)

где а₀ — значение при и = 0 величины а, определяемой форму­лой (102,2). Для политропного газа

< = -f^T- (Ю1.15)

Задачи

1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной сто­роны (х > 0) и закрытой поршнем с другой (х = 0). В момент времени t — 0 поршень начинает двигаться равноускоренно со скоростью U = ±at. Определить возникающее движение газа (считая газ политропный).

Решение. Если поршень выдвигается из трубы (U = —at), то возни­кает простая волна разрежения, передний фронт которой распространяется вправо по неподвижному газу со скоростью со; в области х > с₀г газ непо­движен. На поверхности поршня скорость газа должна совпадать со ско­ростью поршня, т. е. должно быть v = —at при х = —at²/2, t > 0. Это условие дает для функции f(v) в (101,8):

Поэтому имеем:

._(„ ₊ 1^..),_,„_А. ₊ ^._л

откуда

- v = -i- (_Со + at) -1 [(_Со + JLti- at)' - 2a_Y <e,f - я)]"*. (1)

Эта формула определяет изменение скорости в области от поршня до перед­него фронта волны х — c_at {рас 81, а) в течение времени от t = 0 да

t = 2co/(y— Скорость газа направлена везде влево, в сторону движения поршня, и монотонно убывает по абсолютной величине в положительном на­правлении оси х; в этом же направлении монотонно возрастают плотность и давление. При t > 2со/{у — \)а для скорости поршня не выполняется нера­венство (101,10), а потому газ не может двигаться вместе с ним. Между

поршнем и газом возникнет область вакуума, а дальше скорость газа будет меняться по формуле (1) от значения —2с₀/(у — 1) до нуля.

Если поршень вдвигается в трубу (U = at), то возникает простая волна сжатия; соответствующее решение по­лучается просто изменением знака у а в формуле (1) (рис. 81,6). Оно при­менимо, однако, лишь до момента об­разования ударной волны; этот момент определяется по формуле (101,15) и равен

2с₀

t--

«<Y+1)

2. То же при произвольном законе
движения поршня.
Рис 81 Решение. Пусть поршень в мо-

мент г = 0 начинает двигаться по за­кону х= X(t) (причем Х(0) — 0); его скорость U = X'(t). Граничное усло­вие на поршне (v = U при х = X) дает

v = X'(t), /(_O)_*(0-/[c, + -£t!jr'(/)].

Если рассматривать теперь t как параметр, то эти два уравнения определяют в параметрическом виде функцию){v). Обозначая ниже этот параметр по­средством т, можем написать окончательное решение в виде

x = X(x) + (t — т)[с„ + -SLt! X' (т)].

о = Л" (т),

V+1 2

(2)

чем и определяется в параметрическом виде искомая функция v(t, х) в воз­никающей при движении поршня простой волне.

3. Определить время и место образования ударной волны при движении поршня по закону U = at", п > 0.

Решение. Если а < 0, т. е. поршень выдвигается из трубы, то. возни­кает простая волна разрежения, в которой ударные волны вообще не обра­зуются. Ниже предполагается а > 0, т. е. поршень вдвигается в трубу, соз­давая простую волну сжатия.

При параметрическом задании функции v{x,t) формулами (2) с

Х =

_гп+1

lY-l+«(Y+l)] —0. t"^_1[Y- 1 + «(Y+ Dl-0,

п+1 '

момент и место образования ударной волны определяются уравнениями;

an

V+1

с„ + гт"

причем второе уравнение надо заменить просто равенством т = 0, если речь идет об образовании разрыва на переднем фронте простой волны. При п = 1 находим:

а{у+ 1)

т. е. ударная волна образуется на переднем фронте через конечное время по­сле начала движения, в согласии с результатом задачи 1.

При п < 1 производная (dx/dx)t как функция от т оказывается знако­переменной (а потому функция v(x) при заданном г — многозначной) уже при всяком t > 0. Это значит, что ударная волна образуется на поршне уже в самый момент начала его движения.

При п > 1 ударная волна возникает не на переднем фронте простой вол­ны, а в некоторой промежуточной точке, определяемой уравнениями (3). Определив из (3) значения т и г, можно затем по (2) найти и место образо­вания разрыва. Вычисление дает

_о (^2с°У^/и Г—У_л. 1___________________!

* ° I а) Ly+1 я+1 J („_l)'»-'v»i_Y__1+n(Y+,)]•/» •

4. Для плоской волны малой амплитуды (звук) определить средние по времени значения величин в квадратичном по амплитуде приближении. Волна ьзлучается поршнем, колеблющимся по некоторому закону x = X(t), U = — X'(t), причем Х(0) = 0, X = 0, О = 0»).

Решение. Исходим из точного решения (101,9), записав его в эквива­лентном виде, с другим выбором аргумента:

v — F^t и = с₀+а_во (4>

(где ао = (y+1)/2), или v = F(%), где переменная £ определяется в не­явном виде уравнением²)

Е-*-*/я(|). (5>

Покажем, что при вычислении с точностью до величин второго порядка усреднение по t эквивалентно усреднению по \. При заданном х имеем

* du\ /, ха₀ dv \

(в знаменателе и² можно пренебречь малой величиной v •< с₀; искомый эф­фект, связанный с накапливающимися нелинейными искажениями профиля, по­лучается в результате разрешения уравнения (4) относительно v). Поэтому

') В решении этой задачи мы следуем Л. А. Островскому (1968). ²) Для воли малой амплитуды решение (4) справедливо и для произ­вольного (не политропного) газа, если определить ао согласно (102,2).

[vdt=[{F--^F МЛ _di = С p _di _ Jl^L [Я _(b) _ F² (I,)]-

Второй член всегда конечен и не дает вклада при усреднении по большому интервалу времени. Заметив также, что

!г — h <г — U + -^2~ —»i) «*г — г,,

^со

приходим к требуемому результату v' = ifi, где индекс у черты указывает переменную, по которой производится усреднение (ниже этот индекс опу­скаем); отметим, что среднее (по /) значение оказывается тем самым неза­висящим от х.

Для задачи о колеблющемся поршне функция F(|) определяется уравне­нием (2), которое можно переписать в виде

»(т)-Х'(т), т-6 + лг(т)/а(т)

или, ввиду малости амплитуды колебаний:

T*l + -Lx&), v(x)^U{l) + -Lx(l)^^-.

Усредняя последнее выражение, пишем

с₀ ag с₀ а| с₀

я поскольку среднее значение от полной производной обращается в ноль,

•окончательно:

б = -[/2/с₀. (6)

С той же точностью средняя по времени плотность потока вещества:

ро = р₀й + р~Ч> = р₀о + -^2- и².

Используя (6) и равенство (в том же приближении) v² = U², находим, что ро = 0; так и должно быть (в силу закона сохранения вещества) в чисто -одномерном случае, когда нет подтекания вещества «сбоку». Для средней плотности потока энергии имеем:

q = pwv = w₀pv + p_uw'v = p'v = p₀c₀o²

(cp. § 65) и окончательно q_== poCoU².

Для вычисления p' и p' надо выразить p' и p' через v с точностью до членов ~«². Из (101,7) (или из (101,4) и (101,6) для не политропного газа) получим:

lL ₌ ± + l=JL₀2_{t p}' = _cv + (a-l)p„₀² Ро Со 2с₀

я после усреднения'):

p^=_J^-7J5, P₌₌_lz^L_PofJI. (7)

2со 2

Обратим внимание на то, что р' оказывается здесь отличным от нуля уже в квадратичном приближении — ср. конец § 65.

') В более ограничительных предположениях формулы (7) были полу­чены А. Эйхенвальдом (1932).

§ 102. Образование разрывов в звуковой волне

Плоская бегущая звуковая волна как точное решение урав­нений движения тоже представляет собой простую волну. Мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свой­ства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении (понимая под первым приближением то, которое соответствует обычному линейному волновому уравнению).

Прежде всего отметим, что по истечении достаточно долгого времени в звуковой волне на протяжении каждого ее периода должен возникнуть разрыв. Этот эффект приведет затем к весь­ма сильному затуханию волны, как это было объяснено в § 101. Фактически это может относиться, разумеется, лишь к доста­точно сильному звуку; в противном случае звуковая волна успеет поглотиться благодаря обычному эффекту вязкости и теп­лопроводности газа раньше, чем в ней успеют развиться эф­фекты высших порядков по амплитуде.

Эффект искажения профиля волны проявляется и в другом отношении. Если в некоторый момент времени волна была чисто гармонической, то с течением времени соответственно изменению формы ее профиля она перестанет быть таковой. Движение, од­нако, останется периодическим с прежним периодом. В разложе­ние этой волны в ряд Фурье войдут теперь наряду с членом с основной частотой оо также и члены с кратными частотами па> (п — целые числа). Таким образом, искажение профиля по мере распространения звуковой волны можно воспринимать как появ­ление в ней наряду с основным тоном также и обертонов.

Скорость и перемещения точек профиля волны (распростра­няющейся в положительном направлении оси х) в первом при­ближении получается, если положить в (101,11) v = 0, т. е. ц = Со, что соответствует распространению волны без изменения формы профиля. В следующем приближении имеем:

I ди i. ди ро и = с₀ + -^р =c₀ + -^-v,

или с помощью выражения (99,10) для производной ди/др:

u = c₀ + a₀v, (102,1)

где для краткости введено обозначение ')

^а=4^(Ш- ⁽¹⁰²'²>

Для политропных газов а — (у + 1)/2, и формула (102,1) совпа­дает с точной формулой (см. (101,8)) для скорости и.

') В задаче 1 к § 93 эта величина была обозначена как а».

В общем случае произвольной амплитуды волна перестает быть простой после появления в ней разрывов. Существенно, од­нако, что волна малой амплитуды во втором приближении остается простой и при наличии разрывов. Убедиться в этом можно следующим образом. Изменения скорости, давления и удельного объема в ударной волне связаны друг с другом со­отношением

ю, — v₂ = У(/>2 — p_{){Vi — V₂).

Изменение же скорости v вдоль некоторого участка длины оси х в простой волне равно интегралу

Р' __________

°i-°2=$^J-Tp-dp.

Простое вычисление с помощью разложения в ряд показывает, что оба написанных выражения отличаются друг от друга толь­ко в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в виду, то изменение энтропии в разрыве есть величина третьего порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоян­на). Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка звуковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней раз­рыва остается простой, причем на самом разрыве будет выпол­нено надлежащее граничное условие. В следующих же прибли­жениях это уже не будет иметь места, что связано с появлением отраженных от поверхности разрыва волн.

Выведем теперь условие, с помощью которого можно опреде­лить местонахождение разрывов в бегущей звуковой волне (все в том же втором приближении). Пусть и есть скорость движе­ния разрыва (относительно неподвижной системы координат), a vi, v₂ — скорости газа по обеим его сторонам. Тогда условие непрерывности потока вещества запишется:

Pi(vi — и)= p₂(t>2 — и),

откуда

_ PlOl — P₂t>2 Pl — Р2

■С точностью до членов первых двух порядков эта величина рав­на значению производной d(pv)/dp, взятому в точке, где аргу­мент v равен полусумме v =(vi v₂)/2. Поскольку же в про­стой волне d{pv)/dp = v + с, то согласно (102,1) имеем

u = c₀ + a₀^±SL. (102,3)

Отсюда можно получить следующее простое геометрическое условие, определяющее место ударной волны, На рис. 82 кри­вой линией изображен профиль распределения скоростей, соот­ветствующий простой волне, и пусть отрезок ае есть возникаю­щий в волне разрыв (x_s — его координата). Разность заштрихо­ванных на рисунке площадей abc и cde _v определяется интегралом

V2

^ (x — x_s)dv,

—

Рис. 82

взятым по кривой abode. С течением вре­мени профиль волны смещается; вычис­лим производную по времени от написан­ного интеграла. Поскольку скорость dx/dt точек профиля волны определяется фор­мулой (102,1), а скорость dx/dt разрыва — формулой (102,3), то мы получим:

V2

dt J ^v

х — x_s) dv — a

V2

dv

(при дифференцировании интеграла надо иметь в виду, что хотя сами пределы интегрирования v\ и v₂ тоже меняются со време­нем, но значение х — x_s на них всегда есть нуль и поэтому до­статочно дифференцировать только под знаком интеграла).

Таким образом, интеграл ^ (х — x_s)dv остается с течением

времени постоянным. Поскольку же в начальный момент возник­новения ударной волны он равен нулю (точки а и е совпадают)» то и всегда

^ (х — x_s) dv = 0.

abode

(102,4)

Геометрически это означает, что площадь abc равна площади cde. Этим условием определяется положение разрыва.

Образование разрывов в звуковой волне представляет собой пример самопроизвольного возникновения ударных волн в от­сутствии каких бы то ни было особенностей во внешних усло­виях движения. Следует подчеркнуть, что хотя ударная волна может самопроизвольно возникнуть в некоторый дискретный мо­мент времени, она не может столь же дискретным образом ис­чезнуть. Раз возникнув, ударная волна затухает в дальнейшем лишь асимптотически при неограниченном увеличении времени.

Рассмотрим одиночный одномерный звуковой импульс сжа­тия газа, в котором уже успела образоваться ударная волна, и выясним, по какому закону будет происходить окончательное за­тухание этой волны. На поздних стадиях своего распространения

звуковой импульс с ударной волной будет иметь треугольный профиль скоростей, — линейный профиль при своем дальнейшем деформировании остается линейным').

Пусть в некоторый момент времени (который примем за момент t = 0) профиль изображается треугольником ABC на

рис. 83, а (значения величин, относящие­ся к этому моменту времени, будем отли­чать индексом I)²). Перемещая точки этого профиля со скоростями (102,1), мы получили бы по истечении времени t про­филь А'В'С (рис. 83,6). В действитель­ности разрыв переходит в точку Е и ис­тинный профиль будет A'DE. Площади DB'F и CFE равны друг другу в силу ус­ловия (102,4); поэтому площадь A'DE но­вого профиля равна площади ABC ис­ходного профиля. Пусть / — длина звуко­вого импульса в момент времени t, а Ду — скачок скорости в ударной волне. За время t точка В смещается относительно точки С на расстоя­ние аг(Ду)ь поэтому тангенс угла В'АС равен (Aui)/[/i-f--r-af(Aw)i], и мы получаем условие равенства площадей ABC и A'DE в виде

/, + at (До),

/.(До),- '²(^До)' -

Д₀ = (Д_У)ф+^г]^_1/\ (102,5)

откуда

_/=/l[l₊^k^f,

Полная энергия бегущего звукового импульса (отнесенная к еди­нице площади ее фронта) равна

E = p\v²dx = E_l[l +^£^']^-1'². (Ю2,6)

*) Здесь и ниже мы говорим о профиле распределения скорости v — имея в виду лишь простоту записи формул. Фактически более интересной величи­ной является избыточное давление р'; отличающееся от о лишь постоянным множителем: р' = о/роСо; к нему относятся такие же результаты. Отметим, что знак v совпадает со знаком р', так что о > 0 отвечает сжатию, а v < 0 — разрежению. Скорость перемещения точек профиля выражается че­рез р' формулой и = Со (1 4- vop'lpo), v = osp/pc² (для политропного газа v = (у + 1)/2у). ²) Индекс же 0, отличающий равновесные значения величин, будем ниже опускать.

При f->oo величина скачка в ударной волне и ее энергия затухают асимптотически как t~^lf2 (или, что то же, как х~^Х12— с расстоянием x = ct). Длина же импульса возрастает как t^1/2. Обратим внимание также на то, что предельное значение угла наклона профиля Ду//->- l/at не зависит ни от величины скачка, ни от длины импульса.

Рассмотрим теперь предельные (на больших расстояниях от источника) свойства ударных волн, образующихся в цилиндри­ческих и сферических звуковых волнах (Л. Д. Ландау, 1945). Начнем с цилиндрического случая.

На достаточно больших расстояниях г от оси такую волну в каждом небольшом ее участке можно рассматривать как пло­скую. Скорость перемещения каждой точки профиля волны будет тогда определяться формулой (102,1). Однако если мы хотим проследить с помощью этой формулы за смещением точки про­филя на протяжении больших промежутков времени, то необ­ходимо учесть, что амплитуда цилиндрической волны уже в пер­вом приближении падает с расстоянием как /—^1/2. Это значит, что для каждой точки профиля v будет не постоянной (как для плоской волны), а будет убывать как r~^i/2. Если v\ есть значе­ние v (для заданной точки профиля) на расстоянии (большом) г_ь то можно написать v = v\(пЛ)^1/2- Таким образом, для ско­рости и точек профиля волны будем иметь

ц = с + ао, д/т • (102,7)

Первый член представляет собой обычную скорость звука и со­ответствует перемещению волны «без изменения формы про­филя» (отвлекаясь от общего уменьшения амплитуды как г—^1/2, т. е. понимая под профилем распределение величины v л/г). Вто­рой же член приводит к искажению профиля. Величина бг этого дополнительного смещения точек профиля в течение времени (г — г{)/с получится интегрированием по dr/c:

6г = 2а^-_л/7₁(-\/7 - _л/7₁). (102,8)

Искажение профиля цилиндрической волны растет медлен­нее, чем у плоской волны (где смещение 6л: растет пропорцио­нально самому проходимому расстоянию х). Но и здесь оно, ра­зумеется, приводит в конце концов к образованию разрывов. Рассмотрим ударные волны, образующиеся в достаточно далеко удалившемся от источника (оси) одиночном цилиндрическом звуковом импульсе.

Цилиндрический случай существенно отличается от плоского прежде всего тем, что одиночный импульс не может состоять из одного только сжатия или только разрежения; если за передним, фронтом звукового импульса имеется область сжатия, то за ней должна следовать область расширения (см. § 71)¹). Точка мак­симального разрежения будет отставать от всех расположенных сзади нее, в результате чего и здесь возникнет опрокидывание профиля и появится разрыв. Таким образом, в цилиндрическом звуковом импульсе образуются две ударные волны. В переднем разрыве скорость скачком возрастает от нуля, затем следует об­ласть постепенного уменьшения сжатия, сменяющегося разре­жением, после чего давление вновь возрастает скачком во вто­ром разрыве. Но цилиндрический звуковой импульс специфичен (по сравнению как с плоским, так и сферическим случаями) еще

и в том отношении, что он не сможет
иметь заднего фронта — стремление у
/ к нулю происходит лишь асимптоти-

/ VrAv чески. Это приводит к тому, что в зад-

/ 1 нем разрыве у возрастает не до нуля,

/ ^г а лишь до некоторого конечного (от-
V рицательного) значения, и лишь затем

р_ис g₄ асимптотически стремится к нулю.

В результате возникает профиль изо­браженного на рис. 84 вида. Предельный закон, по которому будет происходить оконча­тельное затухание ударных волн со временем (или, что то же, с расстоянием г от оси), можно найти аналогично тому, как это было сделано выше для плоского случая. Из приведенного там вывода видно, что предельный закон отвечает времени, когда смещение бг верхней точки профиля становится уже большим по сравнению с «первоначальной» шириной импульса 1\ (под которой будем понимать, например, расстояние от переднего разрыва до точки с v = 0). Это смещение на пути от г_х до г <С г\ есть

бг ~ Щ- (До)! Уг7.

где (Ay)i «первоначальный» (на расстоянии г\) скачок на пе­реднем разрыве. Тогда «конечный» тангенс угла наклона линей­ной части профиля между разрывами будет =з sfF^ (Ду),/6г fa с/2а yV. Условие постоянства площади профиля дает

U Уг7 (Ay), = /Va л/г,

откуда foor^1/4 (вместо закона 1оох^1/2 в плоском случае). Пре­дельный закон убывания скачка Ди в переднем разрыве полу­чается затем из / -\[г Ду = const, т. е.

Дуоог-³'⁴. (102,9)

*) Мы будем иметь в виду именно такое расположение. Оно отвечает, в частности, применению излагаемых результатов к ударным волнам, возни­кающим при сверхзвуковом движении конечного тела (§ 122).

Наконец, рассмотрим сферический случай '). Общее убывание амплитуды расходящейся звуковой волны происходит как 1/г (где г — теперь расстояние от центра). Повторяя все изложен­ные выше для цилиндрического случая рассуждения, получим для скорости перемещения точек профиля волны

_{u = c +} ^lH_{t (102},io)

после чего найдем смещение 6г точки профиля на пути от г\ до г:

бг = -^1п —. (102,11)

СП \ > /

Мы видим, что искажение профиля сферической волны растет с расстоянием лишь логарифмически — гораздо медленнее, чем в плоском и даже цилиндрическом случаях.

Сферическое распространение звукового импульса сжатия должно сопровождаться, как и в цилиндрическом случае, сле­дующим за сжатием разрежением (см. § 70). Поэтому и здесь должны образоваться два разрыва (сферический одиночный им­пульс может, однако, иметь задний фронт и тогда во втором разрыве v возрастает скачком сразу до нуля)²). Тем же спосо­бом найдем предельные законы возрастания длины импульса и убывания интенсивности ударной волны:

/сод/ln^-, A₀=o_TTKL_7HF, (102,12)

где а — некоторая постоянная размерности длины^3;).

Задачи

1. В начальный момент профиль волны состоит из неограниченного ряда зубцов, изображенных на рис. 85⁴). Определить изменение профиля и энер­гии волны со временем.

') Речь может, например, идти об ударной волне, возникающей при взрыве, и рассматриваемой на больших расстояниях от источника. ²) Поскольку фактически в газе всегда имеет место обычное поглощение звука, связанное с теплопроводностью и вязкостью, то ввиду медленности искажения сферической волны она может поглотиться прежде, чем успеют образоваться разрывы. ⁸) Эта постоянная не совпадает, вообще говоря, с Г\. Дело в том, что аргумент логарифма должен быть безразмерным и потому при г» /ч нельзя просто пренебречь Inn в (102,11). Определение же коэффициента при г в большом логарифме требует более точного учета первоначальной формы про­филя. ⁴) Такой профиль — асимптотическая форма профиля любой периодиче­ской волны.

Решение. Заранее очевидно, что в последующие моменты времени t профиль волны будет состоять из зубцов такого же вида, с той же длиной 1_а, но меньшей высотой vt. Рассмотрим один из зубцов: в момент t — 0 абсцисса точки профиля с v — vi отсекает часть, vih/v, от основания треугольника. В течение же времени t эта точка выдвигается вперед на расстояние a,v_tt. Условие неизменности длины основания треугольника дает l\VtlV\ + atvt =/i,

откуда

t)_t = "i/(l + <">,'/'[)•

При / -*■ оо амплитуда волны затухает как \/t. Для энергии находим

£ = £„(1 +сш,г//,Г²:

она затухает при tоо как t~².

2. Определить интенсивность вто­рой гармоники, возникающей в моно­хроматической сферической волне бла­годаря искажению ее профиля. Решение. Написав волну в виде rv = Acos(kr — Ы), мы можем учесть искажение в первом приближении, прибавив бг к г в правой стороне равенства и разлагая по степеням бг. Это дает с помощью (102,11):

Дата добавления: 2014-11-07