Ol — V2X 56 страница

§ 92. Косая ударная волна

Рассмотрим стационарную ударную волну, отказавшись при этом от подразумевавшегося везде выше выбора системы коор­динат, в которой скорость газа направлена перпендикулярно к данному элементу поверхности волны. Линии тока могут пересе­кать поверхность такой ударной волны наклонно, причем пере­сечение сопровождается преломлением линий тока. Касательная составляющая скорости газа не меняется при прохождении через ударную волну, а нормальная составляющая согласно (87,4) падает:

Vu = V₂t, f l/i > V_2n.

Поэтому ясно, что при прохождении через ударную волну линии тока приближаются к ней (как это показано на рис. 63). Таким образом, преломление линий тока на ударной волне происходит всегда в определенном направлении.

Выберем направление скорости vi газа перед ударной волной в качестве оси х, и пусть ср — угол между поверхностью разрыва и осью х (рис. 63). Возможные значения угла ср ограничены лишь условием, чтобы нормальная составляющая скорости vi

') Выражение (91,7) для произвольной (не политропной) среды и его связь с условиями гофрировочной неустойчивости ударных волн указаны С. Г. Су гаком и В. Е. Фортовым, А. Л, Ни (1981).

превышала скорость звука с\. Поскольку Vi„ = v sin ф, то отсюда следует, что ф может иметь произвольные значения в интервале между я/2 и углом Маха оц:

а, < ф < л/2, sin cci = c\/v\ = 1/Mi.

Движение позади ударной волны может быть как до-, так и сверхзвуковым (меньше скорости звука с₂ должна быть лишь нормальная компонента скорости); движение же перед ударной

волной — непременно сверхзвуко­вое. Если движение газа по обе сто­роны от ударной волны является сверхзвуковым, то все возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности лишь в ту сторону, ку-^х да направлена касательная к ней составляющая скорости газа. В этом смысле можно говорить о «направ­лении» ударной волны и различать по отношению к какому-либо месту «исходящие» из него и «приходя­щие» волны (подобно тому как мы это уже делали для характеристик, вокруг которых движение всегда является сверхзвуковым; см. § 82). Если же движение позади ударной волны является до­звуковым, то понятие о ее направлении теряет, строго говоря, смысл, так как возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности во все стороны.

Выведем соотношение, связывающее друг с другом две ком­поненты скорости газа после его прохождения через косую удар­ную волну; при этом будем предполагать газ политропным.

Непрерывность касательной к волне составляющей скорости означает, что v\ cos ф = v_2x cos ф + vi_u sin ф, или

tgop-.

(92,1)

Далее, воспользуемся формулой (89,6); в этой формуле Vi и i>2 обозначают нормальные к плоскости ударной волны состав­ляющие скорости и должны быть теперь заменены на vi sin ф и v%x sin ф — V2y cos ф, так что имеем:

уц gjnФ — v_2y cos.cp _ у — 1 "-²

2с1

Y+1

(92,2)

t), sin ф

Из двух написанных соотношений можно исключить угол ф. После простых преобразований получим следующую формулу,

определяющую связь между v_2x и v_2y (при заданных v\ и С\)

(92,3)

²—G- -^)-^-^v

^Vly = (^Vl - ^V2xf

Y+ 1 0|

Этой формуле можно придать более изящный вид, если ввести в нее критическую скорость. Согласно уравнению Бер­нулли и определению критической скорости имеем:

2 v (ср. задачу 1 § 89), откуда

Т +

с:

■v² + -

Y+ 1 ¹ Y+ 1 Введя эту величину в (92,3), получим:

(92,4)

Чу = (»1 - 4xf

Y-+ 1

^vi^v2_X -«;

■»1 - ^vl°ix + ^с1

(92,5)

Уравнение (92,5) называют уравнением ударной поляры {A. Busemann, 1931). На рис. 64 изображен график этой зави­симости; это есть кривая треть­его порядка (так называемая \ строфоида или декартов лист). Она пересекает ось абсцисс в точках Р и Q (рис. 64), соответ­ствующих значениям v_2x = c;/rj и v_2x = v_iⁱ). Проведя из начала о координат луч (ОВ на рис. 64) под углом х ^{к оси} абсцисс по длине его отрезка до точки пе­ресечения с кривой ударной по­ляры, мы определяем скорость газа за скачком, поворачиваю­щим поток на угол %. Таких точек пересечения имеется две (А и В), т. е. заданному значению х отвечают две различные ударные волны. Направление ударной волны тоже может быть

') От точки Q, являющейся двойной точкой кривой, строфоида в дей­ствительности продолжается еще. в виде двух уходящих к бесконечным \v_2y\ ветвей (не изображенных на рис. 64) с общей вертикальной асимптотой

^Ds* —«?M+2«»,/(Y + 1)

Однако точки этих ветвей не имеют физическою смысла: они дали бы для v_2x, vz_y значения, при которых v_2nlv\n > 1, что невозможно.

сразу определено графически по этой же диаграмме — оно определяется перпендикуляром, опущенным из начала коорди­нат на прямую, проведенную из точки Q соответственно через точку В или А (на рис. 64 изображен угол ср для волны, соот­ветствующей точке В). При уменьшении % точка А приближа­ется к точке Р, отвечающей прямому (ср = л/2) скачку с ^v2 ^{= c}l/^vi- Точка же В приближается при этом к точке Q, при­чем интенсивность ударной волны (скачок скорости в ней) стремится к нулю; в пределе, в самой точке Q, угол ср равен, как и следовало, углу Маха ат (угол наклона касательной к поляре к оси абсцисс в этой точке равен я/2 + ai).

Из диаграммы ударной поляры сразу можно вывести важное заключение, что угол отклонения % потока в ударной волне не может превышать некоторого максимального значения %_тах, со­ответствующего луч>, проведенному из точки О касательно к кривой, хтах является, конечно, функцией числа Mi = v\/c\\ мы не приводим ее здесь ввиду ее громоздкости. При Mi = 1 имеем Хтах = 0, а при возрастании Mi угол хтах монотонно растет и при Mi->-сю стремится к конечному пределу. Легко рассмотреть оба предельных случая.

Если скорость V\ близка к с», то вместе с ней близка к с» и скорость v₂, а угол % мал; уравнение ударной поляры (92,5) можно тогда приближенно переписать в виде')

X² = ^JT3ⁱ (^у 1 - ^у₂)² (»1 + Щ - 2с.) (92,6>

(ввиду малости угла % здесь положено v_2x та v₂, v_2y ж с*%). От­сюда элементарным путем найдем²):

₌ lVY±I^ _ Л^3/2₌ 2^?/2 _(М, _ _П3/2 _{m 7у}
Хтах- ₃з/2 Ц ^l) g3/2_(Y+1)lMl U ' (»47>

В обратном предельном случае, при Mi -*- со, ударная по­ляра вырождается в окружность

Легко видеть, что при этом

Хтах = arcsi-n(l/y). (92,8)

¹)Можно легко убедиться в том, что уравнение (92,6) будет справедли- вым и для любого (не политропного) газа, если только заменить в нем ве- личину (у + 1)/2 на параметр а», определенный согласно (102,2). ²) Отметим, что эта зависимость /щах от Mj — 1 находится в согласии с общим законом подобия (126,7) для околозвуковых течений.

На рис. 65 изображен график зависимости Хтах от Mi для воз­духа (у = 1,4); горизонтальный пунктирный отрезок показывает

предельное значение %тах(°°) = 45,6° (верхняя кривая на ри­сунке— аналогичный график для обтекания конуса; см. § 113).

30'

		р\П£*-"

Окружность V2 — с* пересекает ось абсцисс между точками Р и Q (рис. 64) и поэтому делит ударную поляру на две,части, соответствующие до- и сверхзвуковым скоростям газа позади разрыва. Точка пересечения окруж­ности V2 = с* с полярой лежит пра- во* вее точки С, но очень близко к ней; поэтому весь участок РС соот­ветствует переходам к дозвуковым скоростям, а участок CQ (за ис­ключением лишь очень небольшого участка вблизи точки С) — перехо­дам к сверхзвуковым скоростям. /,

Изменения давления и плотно-
сти в косой ударной волне зависят ^иуп t.s 2.0 г$ До з$м,
только от нормальных к ней ком-
понент скорости. Поэтому отноше- • ⁶
ния р₂/р\ и p₂/pi при заданных Mi

(92,9) (92,10)

Р2-Р1 Pi

и Ф получаются из формул (89,6—7) просто путем замены в них Mi на Mi sin ф:

2(М² sin² ф — l)]

(Y — 1)М² sin* ф-г-2

Эти отношения монотонно возрастают при увеличении угла ф от значения ф = а\ (когда р₂/р\ == Рг/pi = 1) до я/2, т. е. по мере перемещения по ударной поляре от точки Q к точке Р.

Приведем еще, для справок, формулу, выражающую угол по­ворота % скорости через число Mi и угол ф:

ctg

% = tg ф £

(Y+l)Mf

2(М²8ш²ф- l)

(92,11)

и формулу, определяющую число М₂ = v₂/c₂ по Mi и ф|

2М² cos² ф

2 + (Y-I)Mf

(Y-1) 2 + (Y-l)M²sin²_?

(92,12)

(при ф = я/2 последнее выражение переходит в (89,9)).

Две ударные волны, определяемые ударной полярой для за­данного угла поворота скорости, называют волнами слабого и сильного семейства. Ударная волна сильного семейства (уча­сток РС поляры) обладает большей интенсивностью (большим отношением p₂/pi), образует больший угол ф с направлением скорости vi и превращает течение из сверх- в дозвуковое. Вол­на же слабого семейства (участок QC поляры) обладает

§ 93. Ширина ударных волн

Мы говорили до сих пор об ударных волнах как о геометри­ческих поверхностях, не обладающих толщиной. Рассмотрим те­перь вопрос о структуре реальных физических поверхностей раз­рыва. Мы увидим, что ударные волны с небольшими скачками величин представляют собой в действительности переходные слои конечной толщины, уменьшающейся при увеличении вели­чины скачков. Если же скачки величин в ударной волне не малы, то, действительно, разрыв происходит настолько резко, что в макроскопической теории не имеет смысла говорить о его толщине.

Для определения структуры и толщины переходного слоя надо учесть вязкость и теплопроводность газа, влиянием кото­рых мы до сих пор пренебрегали.

Соотношения (85,1—3) на ударной волне были получены из условий постоянства потоков вещества, импульса и энергии. Если рассматривать поверхность разрыва как слой конечной толщины, то эти условия надо писать не в виде равенства со­ответствующих величин по обе стороны разрыва, а в виде их постоянства вдоль всей толщины разрывного слоя. Первое из этих условий (85,1) не меняется:

pv =е / = const. (93,1)

В двух же других условиях надо учесть дополнительные потоки импульса и энергии, обусловленные внутренним трением и теп­лопроводностью.

Плотность потока импульса (вдоль оси х), обусловленного внутренним трением, определяется компонентой — а'_хх вязкого тензора напряжений; согласно общему выражению (15,3) для этого тензора имеем:

Условие (85,2) приобретает теперь вид¹)

p + pf²-(4n + S)-57 = const.

Как и в § 85, введем вместо скорости v удельный объем V со­гласно v = jV. Постоянную же в правой стороне равенства вы­разим через предельные значения величин на большом расстоя­нии впереди ударной волны (сторона /). Тогда написанное

') Положительное направление оси к совпадает с направлением движе­ния газа через неподвижную ударную волну. Если перейти к системе отсчета, в которой неподвижен газ перед ударной волной, то сама ударная волна будет двигаться в отрицательном направлении оси х.

условие примет вид

Р - Pi + j² (V - V,) - (-i г, + С) j = о. (93,2)

Далее, плотность потока энергии, обусловленного теплопро­водностью, есть —кдТ/дх. Поток же энергии, связанный с внут­ренним трением, есть

/ (4. „\ dv

- °_Xi^vt = - °_xx^v--{T^ + 4^v-dx--

Таким образом, условие (85,3) напишется в виде

(I v² \ (⁴ I Л ^{dv dT} i

или, снова введя v = jV и выразив const через величины с ин­дексом 1:

_w-_{Wi +} ^(v²-vb-i(U+^^-i^^- 03.3)

Мы будем рассматривать здесь ударные волны, в которых все величины испытывают лишь малый скачок. Тогда и все раз­ности V—V\, р — Pi ит. п. между значениями величин внутри переходного слоя и вне его тоже малы. Из получающихся ниже соотношений видно, что 1/6 (где б — ширина разрыва) есть ве­личина первого порядка малости по р₂ — р\. Поэтому дифферен­цирование по х увеличивает порядок малости на единицу (так, производная dp/dx — величина второго порядка).

Умножим уравнение (93,2) на (V+Vi)/2 и вычтем его из уравнения (93,3). Тогда получим:

(^-^,)-l(p-p,)(K + Ki) = yg- (93,4)

(здесь опущен член, содержащий (V — Vi)dV/dx, являющийся малой величиной третьего порядка). Разложим выражение в ле­вой стороне (93,4) по степеням р — р_х и s — s\, выбрав давле­ние и энтропию в качестве основных независимых переменных. Члены первого и второго порядка по р — р_х в этом разложении выпадают (ср. вычисления при выводе формулы (86,1)) и, опу­стив члены более высокого порядка, получим просто T(s — s\). Производную же dT'/dx пишем в виде

dx \др)_s dx ' V. ds J_p dx

Член с производной ds/dx можно опустить как малую величину третьего порядка (см. ниже), и в результате находим формулу, выражающую функцию s(x) через функцию р(х):

'с—>-t(v).*- ^(9М)

Обратим внимание на то, что разность s — Si внутри пере­ходного слоя оказывается величиной второго порядка малости, между тем как полный скачок s₂ — si является (как было пока­зано в § 86) величиной третьего порядка по сравнению со скач­ком давления р₂— рь Это связано с тем, что (как будет по­казано ниже) давление р(х) меняется в переходном слое монотонно от одного предельного значения pi до другого р₂; энтропия же s(x), определяясь производной dp/dx, проходит через максимум, достигая наибольшего значения внутри пере­ходного слоя.

Уравнение, определяющее функцию р(х), можно было бы по­лучить путем аналогичного разложения уравнений (93,2—3) и их комбинирования друг с другом. Мы, однако, изберем другой, более поучительный способ, позволяющий более ясно понять происхождение различных членов в уравнении.

В § 79 было показано, что монохроматическое слабое возму­щение состояния газа (звуковая волна) затухает по мере своего распространения с декрементом, пропорциональным квадрату частоты: у = асо²; положительный коэффициент а выражается через коэффициенты вязкости и теплопроводности согласно фор­муле (79,6). Там же было показано, что это затухание может быть описано (для произвольной плоской звуковой волны) вве­дением дополнительного члена в линеаризованное уравнение движения — см. (79,9). Заменив в этом уравнении вторую про­изводную по времени второй производной по координате и изме­нив знак перед производной др'/дх (что отвечает распростра­нению волны в отрицательном направлении оси х¹)), запишем его в виде

^с дх —^ас дх² • ^'^Ь>

где р' — переменная часть давления.

Для учета слабой нелинейности надо ввести в это уравнение член вида р'др'/дх:

Коэффициент <х_р в нелинейном члене определяется путем соот­ветствующего разложения гидродинамических уравнений иде­альной (без диссипации) жидкости и оказывается равным

*) Этот выбор направления распространения связан с замечанием, сде­ланным в примечании на с. 489. ²) Введя новую неизвестную функцию и = —р'а_р, новую (вместо х) не­зависимую переменную £ = х + ct и обозначив ц = ас³, приведем уравнение

(см. задачу) ²).

Уравнение (93,7) описывает распространение возмущений в слабо диссипирующей, слабо нелинейной среде. В применении к слабой ударной волне оно описывает ее распространение в си­стеме отсчета, в которой невозмущенный газ (перед волной) не­подвижен. Требуется найти решение со стационарным (не зави­сящим от времени) профилем, в котором вдали от волны, при #->-±оо, давление принимает заданные значения р₂ и р\\ раз­ность р2 — р\ есть скачок давления в разрыве¹).

Волна со стационарным профилем описывается решением вида

p'(x,t)^p'(x + _Vlt), ■ (93,9)

где v\ — скорость распространения такой волны. Подстановка в (93,7) приводит к уравнению

± [(v_x - с) р' - % р'² _ ас³ = 0, % = х + vd,

первый интеграл которого:

acS-^ = -^p'² + (_Vi — с)//+ const. (93,10)

Квадратный трехчлен в правой стороне равенства должен обра­щаться в ноль при значениях р', отвечающих предельным усло­виям на бесконечностях, где производная dp'/d% обращается в ноль. Эти значения равны р₂— р_х и 0 если условиться отсчиты­вать р' от невозмущенного давления р\ перед волной. Это зна­чит, что указанный трехчлен может быть представлен в виде

~^\р' ~(р₂-рхЛр', причем константа v\ выражается через р\ и р₂ согласно

oi = с + -^ (ft-/>.)■ (93,11)

Для самого же давления р уравнение (93,10) принимает вид

^ас -ж = — -т(р — Р\)(р -PJ-

(93,7) к виду

ди, ди д^ги

■ЬТ + ^и-Щ = *-аё' ^(93,7а)

в котором его называют уравнением Бюргерса (J. М. Burgers, 1940).

■) Мы увидим в дальнейшем (§ 102), что в отсутствии диссипации эф­фекты нелинейности приводят к искажению профиля волны по мере ее рас­пространения — постепенному возрастанию крутизны фронта волны. В свою очередь, это возрастание приводит к усилению диссипативных эффектов, стре­мящихся уменьшить крутизну профиля (т. е. уменьшить градиенты меняю­щихся величин). Именно взаимная компенсация этих противоположных тен­денций приводит к возможности распространения волн со стационарным про­филем в нелинейной диссипативиой среде.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее требуемым усло­виям есть

_ Pl + Р2, Р2 — Pl.. (Р2 — Pl)(*+PlQ

V 2 ~^Г 2 ¹ 4ас³/а_р

Этим решается поставленная задача. Возвратившись снова к си­стеме отсчета, в которой ударная волна покоится, напишем фор­мулу, определяющую ход изменения давления в ней в виде

_р_ £l±EL= P-ZZlth-J. {93,12)

где

8aV²

^б== (Р2-Р1) (d²V/dp%- ^(93,13)

Практически все изменение давления от р\ до р₂ происходит на расстоянии ~б— ширине ударной волны. Мы видим, что ши­рина волны уменьшается с увеличением ее интенсивности — скачка давления р₂— Р\ ').

Для хода изменения энтропии внутри разрыва имеем из (93,5) и (93,12):

*~^s'⁼l&aVT(4R(-0"),(Р*~Р>>² ch* 1/6)■ <⁹³>¹⁴>

Отсюда видно, что энтропия меняется не монотонно, а имеет максимум внутри ударной волны (при х — 0). При л: = ±оо эта формула дает одинаковые значения s = sr. это связано с тем, что полное изменение энтропии s₂ — S\ является величиной третьего порядка по р₂ — pi (ср. (86,1)), в то время как s — si — второго.

Формула (93,12) применима количественно только при до­статочно малых разностях р₂— Р\. Однако качественно мы мо­жем применить формулу (93,13) для определения порядка ве­личины ширины ударной волны и в тех случаях, когда разность р₂ — Р\ — порядка величины самих давлений р_и р₂. Скорость звука в гггг — порядка величины тепловой скорости v молекул. Кинематическая же вязкость, как известно из кинетической тео­рии газов, v ~ lv ~ 1с, где / — длина свободного пробега моле­кул. Поэтому а ~ 1/с² (оценка члена с теплопроводностью дает то же самое). Наконец, (d²V/dp²)_s ~ V/p² и pV ~ с². Внося эти выражения в (93,13), получаем:

б ~ I. (93,15)

') Для ударной волны, распространяющейся в смеси, определенный вклад в ее ширину возникает также и от процессов диффузии в переходном слое. Вычисление этого вклада см. Дьяков С. П. — ЖЭТФ, 1954, т. 27, с. 283

Упомянем также, что ударные волны слабой интенсивности остаются устойчивыми по отношению к поперечной модуляции (ср. примечание на стр. 477) и ппи учете их диссипативной структуры; см. Спектор М. Д. — Письма ЖЭТФ, 1983, т. 35, с. 181.

Таким образом, ширина ударных волн большой интенсивности оказывается порядка величины длины свободного пробега мо­лекул газа¹). Но в макроскопической газодинамике, трактую­щей газ как сплошную среду, длина свободного пробега должна рассматриваться как равная нулю. Поэтому, строго говоря, чисто газодинамические методы непригодны для исследования внут­ренней структуры ударных волн большой интенсивности.

Задачи

1. Определить коэффициент нелинейности а в уравнении (93,7) для рас­пространения звуковых волн в газе.

Решение. Точные гидродинамические уравнения одномерного движе­ния идеального (без диссипации) газа:

dv dv 1 dp др д...

dt дх p dx dt dx '

Произведем их разложение с учетом членов второго порядка малости. Для этого полагаем

р = _Ро+Р', _p==po+ ^l+^l(0)_s. <₂₎

Члены второго порядка в уравнениях можно упростить, приведя их всех к одинаковому виду — содержащему произведение р'др'/dx. Для этого заме­чаем, что для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (со скоростью с) дифференцирование по t эквивалентно дифференциро­ванию по х/с; при этом v — —р'/сро- После всех этих замен получим из (1) и (2) следующие уравнения:

dt р дх ^w

dv, 1 dp' (dW\, dp'

~dx^~pc^~dr ^{= Cp}\dp^)s^P dx <⁴>

(индекс 0 у постоянных равновесных значений величин опускаем); здесь ис­пользовано также равенство

(V = 1/р —удельный объем). Дифференцируя уравнения (3) и (5) соответ­ственно по х и по t и вычтя одно из другого, получим

421/ \ Я, Я_р' Ч

(\ d д \(\ д. д \, _{2 г}(d²V\ d (,

дх

С той же точностью заменяем в левой стороне этого уравнения д/дх + + d/cdt -*■ 2д/дх. Наконец, вычеркнув с обоих сторон дифференцирования по х и сравнив получившееся уравнение с (93,7), найдем для а_р значение (93,8).

Уравнение для скорости v можно получить непосредственно из (93,7), не повторяя заново вычислений, подобных произведенным выше. Действительно, сумма членов первого порядка в левой стороне (93,7) содержит оператор

^[) Сильная ударная волна сопровождается значительным увеличением температуры; под / надо понимать длину пробега, соответствующую некото­рой средней температуре газа в волне.

d/dt— сд/дх, который надо рассматривать как малый первого порядка: он обращает в ноль функцию р'(х, t) в ее линейном приближении. Поэтому мы получим уравнение для функции v (х, t) в требуемом приближении, просто заменив в (93,7) р' согласно линейному соотношению р' = —реи:

dt -^сж ^{+ а}"°Тх-=^ас3^' ⁽⁶⁾

dv dv, dv, d²v

где

\ dp²)_s

^v 2V³ \ dp

Величина a„ безразмерна; для политропного газа a_v = (у + 1)/2.

2. Путем нелинейной подстановки привести уравнение Бюргерса (93,7а) к виду линейного уравнения теплопроводности (Е. Hopj, 1950).

Решение. Подстановкой

в(С,0 = -2ц-|^-1пф(Е,/) (1)

уравнение (93,7а) приводится к виду

откуда

Зф сЭ²ф df (t)

dt *" dt,² * dt •

где посредством df/dt обозначена произвольная функция t. Переобозначением

ф->-фе' (не меняющим искомой функции и(£, г)) это уравнение преобра-
зуется к требуемому виду

-^- = 11-^- (3)

dt ^Ц dl² • ^(d)

Решение этого уравнения с начальным условием ф(£, 0) = фо(£) дается формулой (51,3):

оо

Ф (С, г) = 2(яц0-^1/2 J Фо Ю ехр {- ^(S~ f⁾²1 dl'. (4)

— оо

Начальная же функция фо(£) связана с начальным значением искомой функ­ции и\%, I) равенством

I

In ф„(С)= - Л-J щ(j)ц ₍₅₎

о

(выбор нижнего предела в интеграле произволен).

§ 94. Ударные волны в релаксирующей среде

К значительному расширению ударной волны может при­вести наличие в газе сравнительно медленно протекающих ре­лаксационных процессов — медленно протекающие химические реакции, замедленная передача энергии между различными

свободы молекулы и

п. (Я. Б. Зельдович,

степенями 1946) >).

Пусть т — порядок величины времени релаксации. Как на-
чальное, так и конечное состояния газа должны быть полностью
равновесными; поэтому прежде всего ясно, что полная ширина
ударной волны будет порядка величины rfi — расстояния, прохо-
димого газом в течение времени
Р>., т. Кроме того, оказывается, что

если интенсивность волны пре­вышает определенный предел, то структура волны усложняется, в чем можно убедиться следую­щим образом.

На рис. 67 сплошной линией изображена ударная адиабата, проведенная через заданную на­чальную точку /, в предположе­нии полной равновесности конеч­ных состояний газа; наклон ка­сательной к этой кривой в точ­ке / определяется «равновесной» скоростью звука, которую мы обозначали в § 81 посредством с₀. Пунктиром же изображена ударная адиабата, проведенная через ту же точку /, в предположении, что релаксационные про­цессы «заморожены» и не происходят вовсе; наклон касательной к этой кривой в точке / определяется значением скорости зву­ка, которое было обозначено в § 81 как с_ж.

Если скорость ударной волны такова, что с₀ < v\ < с», то хорда 12 расположена так, как указано на рис. 67 нижним от­резком. В этом случае мы получим простое расширение ударной волны, причем все промежуточные состояния между начальным состоянием / и конечным 2 изображаются в плоскости р, V точ­ками на отрезке 12. Это следует из того, что (при пренебреже­нии обычными вязкостью и теплопроводностью) все последова­тельно проходимые газом состояния удовлетворяют уравнениям сохранения вещества pv = / = const и сохранения импульса р -f- j²V = const (ср. подробнее аналогичные соображения в § 129).

Если же vi > с», то хорда занимает положение 11'2'. Все точки, лежащие на ее отрезке между точками / и вообще не соответствуют каким-либо реальным состояниям газа; первой

Дата добавления: 2014-11-07