Методические указания по изучению курса

Основные уравнения математической физики.

Ряды Фурье.

Функциональные ряды.

I. Числовые ряды.

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

РЯДЫ.

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия над рядами.

2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

4. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.

6. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

7. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости.

8. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение.

9. Волновое уравнение. Решение задачи Коши методом Фурье (разделения переменных).

10. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом Фурье.

I. Ряды. Уравнения математической физики.

I. Числовые ряды.

Среди достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами наиболее эффективным является интегральный признак Коши. Поэтому, если другие признаки (1 и 2 признаки сравнения, признаки Коши и Даламбера) не позволяют решить вопрос о сходимости или расходимости числового ряда с положительными членами, то следует прибегнуть, если это возможно, к интегральному признаку Коши.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. По условию

, следовательно , т.е. признак Даламбера не позволяет сделать заключение о сходимости или расходимости ряда. Поэтому используем интегральный признак Коши. Члены данного ряда положительны и убывают. В качестве функции , о которой идет речь в интегральном признаке,

возьмем при Эта функция непрерывна и убывает,

причем Так как несобственный интеграл

то данный ряд расходится.

Дата добавления: 2014-10-15