Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметре известного распределения.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н ₀.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н ₁, которая противоречит нулевой.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание а нормального распределения равно 10 (Н ₀: а = 10), то конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что а ≠ 10 (Н ₁: а ≠ 10).

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Так как проверку статистической гипотезы проводят статистическими методами, то ее (проверку) называют статистической.

В итоге проверки в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого рода обозначают через и называют уровнем значимости.

Чаще всего берут =0,05 или =0,01. Если, например, взять уровень значимости = 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода.

Статистическим критерием (критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы Н ₀.

Наблюдаемым значением К_набл. называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых Н ₀ отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) К_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > К_кр, где К_кр – положительное число

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < К_кр, где К_кр – отрицательное число

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К < К_{кр .1}, К > К_{кр .2}, где К_{кр .2} > К_{кр .1}

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что К_кр > 0)

К <− К_кр, К > К_кр,

или

| К | > К_кр

При нахождении критической области задаются уровнем значимости и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

а) для правосторонней критической области

Р (К > К_кр) = (К_кр > 0);

б) для левосторонней критической области

Р (К < К_кр) = (К_кр < 0);

в) для двусторонней симметричной области

Р (К > К_кр) = , Р (К <− К_кр) =

(К_кр > 0).

Мы строили критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания в нее критерия была равна при условии, что справедлива нулевая гипотеза. Оказывается целесообразным ввести в рассмотрение вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза неверна и, следовательно, справедлива конкурирующая гипотеза.

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

В этом случае строят критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной. Если вероятность ошибки второго рода (принять неправильную гипотезу) равна , то мощность равна 1−. Если мощность 1−возрастает, то уменьшается вероятность совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем мощность больше, тем вероятность ошибки второго рода меньше.

Замечание. Уменьшить одновременно и невозможно: если уменьшить , то будет возрастать.

Единственный способ одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объема выборок.

Проверка гипотезы о согласованности мнений экспертов (априорное ранжирование переменных)

Пусть т специалистам (экспертам), хорошо знакомым с исследуемым процессом, предлагается расположить п факторов Х ₁, Х ₂, …, Х_п в порядке убывания их влияния на результат процесса (на переменную состояния Y).

Пусть а_ij – ранг, выставленный i -м экспертом j -му фактору (1 ≤ а_ij ≤ п, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n).

Результаты опроса вносятся в таблицу

Факторы Эксперты	Х 1	Х 2	…	Хп
	а 11	а 12	…	а 1 п
	а 21	а 22	…	а 2 п
…	…	…	…	…
т	ат 1	ат 2	…	атп

По результатам опроса экспертов проверяется гипотеза

Н ₀: мнения экспертов согласованы

при конкурирующей гипотезе

Н ₁: мнения экспертов не согласованы (рассогласованы).

Сумма рангов по строке (сумма рангов, выставляемых конкретным экспертом) для всех строк одинакова и равна

.

Среднее значение рангов в строке:

.

Среднее значение суммы рангов в столбце:

.

Вычисляется коэффициент согласия (коэффициент конкордации):

W = ,

где S (d ²) – сумма квадратов отклонения суммы рангов от средней суммы:

S (d ²) = = ,

= т ²(п ³ − п).

Если мнения экспертов согласованы, то S (d ²) = , т.е. W = 1.

Если мнения экспертов не согласованы, то значение S (d ²) близко к нулю и W ≈ 0.

Если из нескольких факторов эксперт ни одному не может отдать предпочтение, то в этом случае в таблицу ранжирования этим факторам он выставляет одинаковые дробные ранги. Тогда коэффициент конкордации вычисляется по формуле

W = = ,

где

T_i = ,

где i – номер эксперта;

k – номер повторения;

t_ik – число одинаковых рангов в k- ом повторении у i -го эксперта.

Для проверки нулевой гипотезы Н ₀ в качестве статистического критерия используют случайную величину

= (п − 1) тW,

т.е. используют -распределение с числом степеней свободы k = n − 1. При этом строится левосторонняя критическая область.

Правило проверки гипотезы Н ₀

1. Вычисляют наблюдаемое значение критерия

= (п − 1) тW.

2. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = n − 1 определяют критическую точку (; k) по таблице критических точек -распределения.

3. Если > , то гипотеза Н ₀ принимается, т.е. мнения экспертов согласуются;

Если < , то мнения экспертов рассогласованы.

Если мнения экспертов согласованы, то строится ранжировочная гистограмма. В ней по оси абсцисс откладываются факторы, а по оси ординат – суммы рангов в обратном порядке.

По виду гистограммы судят о значимом или незначимом влиянии факторов на переменную состояния и об использовании этих факторов в дальнейшем.

Пример. Для некоторого технологического объекта рассматриваются 6 факторов, влияющих на переменную состояния. Мнения 4 экспертов приведены в таблице

Факторы Эксперты	Х 1	Х 2	Х 3	Х 4	Х 5	Х 6
	1,5		1,5
				4,5	4,5
				5,5	5,5

Проверить гипотезу о согласованности мнений экспертов и, если они справедливы, то построить гистограмму ранжирования. Уровень значимости взять равным = 0,05.

□

Имеем п = 6, т = 4. Найдем среднее значение суммы рангов в столбце:

= = 14.

Построим таблицу

Факт. Эксп.	Х 1	Х 2	Х 3	Х 4	Х 5	Х 6	ti 1	- ti 1	ti 2	- ti 2	Ti
	1,5		1,5
				4,5	4,5
				5,5	5,5
4	1,5	3,5	1,5		3,5
		14,5			16,5
dj	−7	0,5	−9		2,5
		0,25			6,25

Так как в таблице присутствуют дробные ранги, то коэффициент кокордации вычисляем по формуле

W = .

Найдем S (d ²):

S (d ²) = = = = 49+0,25+81+25+6,25+64 = 225,5.

Найдем :

T_i = = :

T ₁ = () + () = 6 + 0 = 6,

T ₂ = () + () = 6 + 0 = 6,

T ₃ = () + () = 6 + 0 = 6,

T ₄ = () + () = 6 + 6 = 12.

Тогда

= = 6 + 6 + 6 + 12 = 30.

Следовательно,

W = = = 0,805.

Проверка гипотезы Н ₀:

1.Вычислим наблюдаемое значение критерия:

=(п − 1) тW = 4·(6 – 1)·0,805=16,1.

2. По заданному уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы k = 6 − 1 = 5 определим критическую точку (; k) по таблице критических точек -распределения:

(; k) = (0,05;5) = 11,07.

3. Так как > , то мнения экспертов согласованы (гипотеза Н ₀ принимается).

Построим ранжировочную гистограмму:

■

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть имеется эмпирическое распределение в виде последовательности вариант. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу Н ₀: генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону.

Правило проверки гипотезы Н ₀

1. Записать эмпирическое распределение в виде последовательности интервалов [ x_i, x_{i +1}) c соответствующими частотами п_i (п_i – сумма частот, попавших в i -й интервал):

[ x_i, x_{i +1}): [ x ₁, x ₂) [ x ₂, x ₃) …[ x_s, x_{s +1})

п_i: п ₁ п ₂ … п_s

2. Вычислить выборочную среднюю и среднее квадратическое отклонение , причем в качестве варианты принимают среднее арифметическое концов интервала:

= .

3. Пронормировать Х, т.е. перейти к случайной величине

Z = ,

и вычислить концы интервалов:

z_i = , z_{i +1} = ,

причем наименьшее значение Z, т.е. z ₁, полагают равным −∞, а наибольшее, т.е. z_s, полагают равным +∞.

4. Вычисляют теоретические частоты

= п · Р_i,

где

п – объем выборки;

Р_i = Φ (z_{i +1}) − Φ (z_i) – вероятность попадания Z в интервалы (z_i, z_{i +1}), Φ (z) – функция Лапласа.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона

= ;

б) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = s – 3 (s – число интервалов выборки) находят критическую точку правосторонней критической области (, k).

6. Если < , то гипотезу Н ₀ о нормальном распределении генеральной совокупности принимается. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.

Если > , то гипотезу Н ₀ отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Пример. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема п = 100:

5, 10, 13, 15, 7, 20, 14, 12, 20, 20, 16, 20, 18, 18, 25, 27, 13, 5, 20, 20, 23, 20, 18, 14, 20, 20, 10, 12, 15, 7, 13, 28, 18, 15, 16, 20, 20, 18, 18, 13, 17, 12, 8, 7, 8, 7, 13, 8, 13, 20, 20, 20, 25, 23, 23, 28, 17, 18, 18, 20, 20, 20, 23, 25, 28, 30, 33, 37, 18, 25, 18, 18, 20, 20, 20, 25, 28, 23, 23, 20, 20, 23, 23, 30, 32, 35, 20, 20, 18, 18, 18, 20, 23, 23, 18, 32, 33, 35, 33, 33.

□

Запишем распределение выборки в виде

х_i 5 7 8 10 12 13 14 15 16 17 18 20 23 25 27 28 30 32 33 35 37

n_i 2 4 3 2 3 6 2 3 2 2 15 25 10 5 1 4 2 2 4 2 1

1. Запишем эмпирическое распределение в виде последовательности интервалов c соответствующими частотами. Пусть началом первого интервала будет 3, а шаг равен 5. Учитываем, что левая граница входит в интервал, а правая не входит:

Таблица 1.

Номер интервала, i	Границы интервала	Частота, пi
xi	xi +1

2. Вычислим выборочную среднюю и среднее квадратическое отклонение , причем в качестве варианты принимают среднее арифметическое концов интервала:

= .

В результате получим распределение:

5,5 10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5

n_i 6 8 15 40 16 8 7

Тогда

= = ·(6·5,5+8·10,5+15·15,5+40·20,5+16·25,5+8·30,5+7·35,5 = 20,7;

= ;

= = ·(6·5,5² +8·10,5² +15·15,5² +40·20,5² +16·25,5² +8·30,5² +7·35,5² =

= 481,45;

= = = 7,28.

3. Найдем интервалы (z_i, z_{i +1}), учитывая, что = 20,7 и = 7,28. Для этого составим таблицу 2 (левый конец первого интервала примем равным −∞, а правый конец последнего интервала примем равным +∞)

Таблица 2.

i	Границы интервала	Границы интервала
хi	xi +1	zi =	zi +1 =
			−∞	−1,74
			−1,74	−1,06
			−1,06	−0,37
			−0,37	0,32
			0,32	1,00
			1,00	1,69
			1,69	+∞

4. Найдем теоретические вероятности Р_i и теоретические частоты = п · Р_i. Для этого составим таблицу 3.

Таблица 3.

i	Границы интервала	Pi = = Φ (zi +1)− − Φ (zi)	= =100 Рi
zi	zi +1
	−∞	−1,74	0,0409	4,09
	−1,74	−1,06	0,1037	10,37
	−1,06	−0,37	0,2111	21,11
	−0,37	0,32	0,2698	26,98
	0,32	1,00	0,2158	21,58
	1,00	1,69	0,1132	11,32
	1,69	+∞	0,0455	4,55

5. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 4.

Таблица 4.

i	ni
		4,09	0,8920	8,8019
		10,37	0,5416	6,1716
		21,11	1,7684	10,6584
		26,98	6,2833	59,3052
		21,58	1,4428	11,8628
		11,32	0,9737	5,6537
		4,55	1,3192	10,7692
			=13,22	113,22

Последний столбец служит для котроля: разница − п должна равняться наблюдаемому значению критерия Пирсона. Проверим это:

− п = 113,22 − 100 =13,22 = .

Значит, вычисления выполнены правильно.

б) по таблице критических точек распределения по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы k = s – 3 = 7 − 3 = 4 (s – число интервалов выборки) найдем критическую точку правосторонней критической области (, k):

(, k) = (0,05; 4) = 9,5.

6. Так как > , то гипотезу Н ₀ о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

■

Дата добавления: 2014-10-15