Правила дифференцирования. Вычисление производных

Производная функции

Примеры.

Методы нахождения пределов функции

Второй замечательный предел

Первый замечательный предел

Замечательные пределы

Предел отношений sinx бесконечно малой величины x к самой этой величине равен 1.

Свойства:

1.; 2. ; 3.

где е – число иррациональное, e ≈ 2,71828.

1. Простая подстановка значения аргумента (см. примеры 1-3).

Если при простой подстановке получаются неопределенности типа или , то используются следующие способы.

2. Числитель и знаменатель делятся на х с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя (см. пример 4).

3. Дробь раскладывается на множители, согласно правилам сокращенного умножения (см. пример 5)

4. Используются замечательные пределы (см. примеры 6 и 7)

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Производной функции y = f(x) в точке х₀ (обозначается y'(x₀) или f'(x₀)) называется предел отношения приращения функции в этой точке

к приращению аргумента при если этот предел существует:

y'(x₀) = .

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица основных производных

1) (C)' = 0	7) (tg x)' =
2) (x^n)' = n·x^n-1	8) (ctg x)' =
3) (sinx)' = cos x	9) (arcsinx)' =
4) (cos x)' = -sin x	10) (arcos x)' =
5) (a^x)' = a^x ln a; (e^x)' = e^x	11) (loga x)' = ; (ln x) ' =
6) (arctg x)' =	12)y= arcctg x, y’ = −

Правила дифференцирования:

1. (u + v − w)'=u' + v' − w'.

2. (u · v)'=u' · v + u · v'.

3. , ().

4. Если функция дифференцируема в точке , а функция y = f(u) дифференцируема в точке , то сложная функция y = f((x)) дифференцируема в точке , при этом .

Дата добавления: 2014-10-17