Основы теории вероятностей

Классическое определение вероятности.

Количественной мерой возможности появления некоторого случайного события служит вероятность.

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятных этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n)

.

Для вычисления общего числа благоприятствующих или общего числа элементарных исходов используют формулы комбинаторики:

1. Число различных упорядоченных подмножеств (размещений) из m элементов без повторений для множества, содержащего n элементов, определяется по формуле:

- «порядок есть, повторений нет».

Если n=m, то размещения называются перестановками. Количество таких перестановок из n элементов определяется по формуле:

2. Число различных подмножеств (сочетаний) из m элементов без повторений для множества, содержащего n элементов, определяется по формуле:

- «порядка нет, повторений нет»

Пример.

На станцию прибыли 10 вагонов с различной продукцией. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

Решение.

Общее число всех исходов для контрольного вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5:

.

Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет равно числу таких комбинаций, в которых будут две цифры 2 и 5, а остальные будут составлять сочетания, число которых

.

Тогда искомую вероятность найдем по формуле

.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие A, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается p(В\А).

Теорема умножения вероятностей двух событий.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:

p(АВ) = p(А)p(В\А) = p(В)p(А\В).

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

p(АВС ··· LM) = p(А)p(В\А)p(С\АВ) ··· p(М\АВ ··· L).

Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.

Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий

p(АВ) = p(А)p(В).

События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий.

Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

p(А + В) = p(А) + p(В) − p(АВ).

Дата добавления: 2014-10-17