Гистограмма

Основы математической статистики

Пример.

Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y:

X
р	0,4	0,2	0,1	0,3

Y
p	0,5	0,2	0,3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Z = 2Х + 3Y.

Решение.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также учитывая, что X и Y − независимые случайные величины, имеем:

M(Z) = М(2Х + 3Y) = М(2Х) + М(3Y) = 2М(Х) + 3М(Y);

D(Z) = D(2Х + 3Y) = D(2Х) + D(3Y) = 4 D(X) + 9D(Y).

По формуле М(Х) = вычислим М(Х) и М(Y):

М(Х) = 2 · 0,4 + 4 · 0,2 + 6 · 0,1 + 8 · 0,3 = 4,6;

М(Y) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 2 · 0,3 = 0,8.

Тогда

M(Z) = 2 · 4,6 + 3 · 0,8 = 11,6.

По формуле D(X) = М(Х²) − (М(Х))² вычислим D(Х) и D(Y).

Вначале найдем М(Х²) и М(Y²):

М(Х²) = 4 · 0,4 + 16 · 0,2 + 36 · 0,1 + 64 ·0,3 = 27,6;

M(Y²) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 4 · 0,3 = 1,4.

Затем вычислим значения D(X) и D(Y):

D(X) = М(Х²) − (М(Х))² = 27,6 − 4,6² = 6,44;

D(Y) = M(Y²) − (М(Y))² = 1,4 − 0,8² = 0,76.

Окончательно получим

D(Z) = 4 · 6,44 + 9 · 0,76 = 32,6.

Графическое изображение вариационных рядов в виде гистограммы позволяет получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат на оси 0х откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

Если относительную частоту разделить на длину каждого интервала, то полученная величина будет представлять собой выборочную оценку плотности вероятности:

f*(х_i) = .

Дата добавления: 2014-10-17