Поняття множини

Коротка історична довідка

Тема 1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ МНОЖИН

2014

Тернопіль

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

Якименко Ігор Зіновійович

з дисципліни

“ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА”

для студентів денної та заочної форм навчання спеціальностей

“Комп’ютерні системи і мережі” та “Спеціалізовані комп’ютерні системи”

РОЗДІЛ 1. МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

Основи теорії множин були закладені відомим німецьким математиком Георгом Кантором у другій половині минулого століття (1871-1873 рр.). У 1904-1908 рр. Е.Цермело сформулював першу систему аксіом теорії множин. Ця теорія давала можливість створення метамови математики, тобто формальної єдиної системи понять і принципів, за допомогою якої можна викласти різні розділи математики.

Однак пізніше було виявлено суперечності теорії множин Кантора: так звані парадокси або антиномії. Виникла потреба в пошуках обґрунтованіших та точніших принципів і концепцій для несуперечливості теорії множин.

Значний внесок у становлення аксіоматичної теорії множин зробили такі видатні математики і мислителі нашого століття, як Б.Рассел, Д.Гільберт, К.Гедель та ін.

Сьогодні теорія множин – це одна з основних математичних теорій, на якій ґрунтується більшість розділів сучасної математики, як неперервної, так і дискретної.

Детальніше ознайомитися з історією виникнення та розвитку теорії множин можна, прочитавши монографію А.Френкеля і І.Бар-Хіллела "Основи теорії множин" або книгу М.Клайна "Математика. Втрата певності".

Часто теорію множин, в якій закони скінчених множин поширюються на нескінченні, називають “інтуїтивною” або “наївною”. Це не означає, що поняття чи результати цієї теорії є інтуїтивними чи наївними. Такими є лише методи введення понять і обґрунтування тверджень. Самі ж поняття чи результати входять до аксіоматичної теорії, причому їх дістають уже формально та строго доводять.

В інтуїтивній теорії множин поняття " множина " належить до первинних не означуваних понять (як “число”, “нескінченність” в алгебрі, “точка”, “пряма” в геометрії тощо). Це поняття не може бути означено через інші простіші терміни або об’єкти, воно є настільки широким та загальним, що не входить до як частина в жодне інше, ще загальніше поняття. Його пояснюють на прикладах, апелюючи до нашої уяви та інтуіції.

Певний час користувалися канторівським означенням: "Множина – це об’єднання в єдине спільне визначених об’єктів, які чітко розрізняються нашою інтуїцією або думкою". Проте його не можна вважати строгим математичним означенням через нематематичні терміни “об’єднання”, “інтуїція”, “думка”, це є швидше поясненням поняття множини. Істотним тут є лише те, що множину означено як єдине ціле, причому на природу об’єктів, що складають множину, ніяких обмежень не накладається.

В оточуючому світі існують як окремі об’єкти, так і їх сукупності (множини). Наприклад, будинки на вулиці, студенти групи тощо. Іншими синонімами основного слова “множина” є “сукупність”, “набір”, “колекція”, “об’єднання”, “клас”, “масив” тощо.

Дата добавления: 2014-10-17