Бінарні відношення

Означення 1.2.3. Підмножина R декартового степеня Mⁿ деякої множини M називається n-місним або n-арним відношенням на множині M. Кажуть, що елементи a ₁, a ₂,..., a_n Î M знаходяться у відношенні R, якщо á a ₁, a ₂,..., a_n ñÎ R.

При відношення R Í M називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a Î M має ознаку R, якщо a Î R і R Í M. Наприклад, ознаки “парність” і “кратність 3” виділяють із множини N натуральних чисел унарні відношення R¢ = {2 k | k Î N } і R¢¢ = {3 k | k Î N }, відповідно.

Найбільш популярними в математиці є двомісні або бінарні відношення (), на вивченні властивостей яких ми зупинимось детальніше. Далі скрізь під словом “відношення” розумітимемо бінарне відношення. Якщо елементи a, b Î M знаходяться у відношенні R (тобто á a, b ñÎ R), то це часто записують у вигляді aRb. Зауважимо, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме – відповідності між однаковими множинами.

Наприклад, на різних множинах можна задати такі бінарні відношення.

1. Відношення на множині N натуральних чисел:

R ₁ - відношення “менше або дорівнює”, тоді 7 R ₁9, 2 R ₁2, 1 R ₁ m для будь-якого m Î N;

R ₂ - відношення “ділиться на”, тоді 12 R ₂3, 49 R ₂7, mR ₂1 для будь-якого m Î N;

R ₃ - відношення “складаються з однакових цифр”, тоді 107 R ₃701, 123 R ₃3213311.

2. Відношення на множині точок координатної площини R ²:

R ₄ - відношення "знаходяться на однаковій відстані від початку координат", тоді (3,2) R ₄ (,-), (0,0) R ₄ (0,0);

R ₅ - відношення “симетричні відносно осі ординат”, тоді (1,7) R ₅(-1,7), а в загальному випадку (a, b) R ₅(- a, b) для будь-яких a, b Î R;

R ₆ - відношення “менше або дорівнює”. Вважаємо, що (a, b) R ₆(c, d), якщо a £ c і b £ d. Зокрема, (1,7) R ₆(20,14), (-12,4) R ₆(0,17).

3. Відношення на множині людей:

R ₇ - відношення “є другом”,

R ₈ - відношення “є молодшим за віком від”.

Слід звернути увагу на такі основні моменти:

- розглядуване відношення має місце не для всіх пар елементів заданих множин, а лише для деяких з них;

- не завжди якщо елемент x перебуває у відношенні з елементом y, то елемент y перебуває у тому самому відношенні з елементом x;

- кожне відношення між елементами даної множини можна розглядати як сукупність деяких впорядкованих пар декартового добутку двох однакових або різних множин.

Позначимо символом сукупність лівих координат впорядкованих пар бінарного відношення , тобто:

.

Множину називають лівою областю або областю визначення відношення .

Аналогічно множину

називають правою областю або множиною значень відношення .

Наприклад, для відношення , а .

Множину називають полем відношення . Для розглянутого прикладу .

Якщо будь-який елемент заданої множини перебуває у відношенні з будь-яким елементом цієї множини, то таке відношення називають універсальним. Якщо ж жоден елемент заданої множини не перебуває у відношенні з жодним елементом цієї множини, то таке відношення називають порожнім.

Відношення називають діагональним або одиничним.

Дата добавления: 2014-10-17